Encontre a derivada.
(d) F(x)=integralx^2^x^3 ln t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de F(x)=integralx^2^x^3ln t^2,dt. O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo com limites variáveis e a Regra da Cadeia, além de derivação de potências e logaritmos.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt, então
G'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)
Aqui temos f(t)=ln t^2, a(x)=x^2 e b(x)=x^3, logo
F'(x)=lnl((x^3)^2r),(x^3)'-lnl((x^2)^2r),(x^2)'

Passo 3

Calculamos cada termo. Primeiro,
(x^3)^2=x^6, ln(x^6)=6ln|x|, (x^3)'=3x^2
Depois,
(x^2)^2=x^4, ln(x^4)=4ln|x|, (x^2)'=2x
Substituindo, fica
F'(x)=6ln|x|cdot3x^2-4ln|x|cdot2x=18x^2ln|x|-8xln|x|

Passo 4

Por fim, fatorando 2xln|x|, obtemos
F'(x)=2xln|x|(9x-4)

Resposta

F'(x)=2xln|x|(9x-4)

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