Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre a função $ f: [0, +\infty[ \rightarrow [0, +\infty[ $, definida por $ f(x) = \sqrt{x} $. A gente precisa descobrir se essa função é injetora, sobrejetora ou bijetora. E, se for bijetora, encontrar a inversa dela. Para isso, vamos revisar o que significa cada um desses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que $ f(a) = f(b) $, então $ a = b $. Em outras palavras, cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada.
No caso da nossa função $ f(x) = \sqrt{x} $, vamos supor que $ f(a) = f(b) $. Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso mostra que se $ f(a) = f(b) $, então $ a $ deve ser igual a $ b $. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo elemento no conjunto de chegada ($ [0, +\infty[ $), existe pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para ele.
Ou seja, para todo $ y \in [0, +\infty[ $, existe um $ x \in [0, +\infty[ $ tal que $ f(x) = y $.
No nosso caso, $ f(x) = \sqrt{x} $. Queremos resolver para $ x $:
Como $ y $ pode ser qualquer número não negativo, $ y^2 $ também será não negativo e pertence ao domínio $ [0, +\infty[ $. Portanto, para cada $ y $, existe um $ x = y^2 $ que satisfaz $ f(x) = y $. Assim, a função é sobrejetora.
Passo 4
Já que a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora. Agora, vamos encontrar a inversa dessa função.
A função inversa $ f^{-1}(y) $ troca os papéis de $ x $ e $ y $. Vamos resolver a equação $ y = \sqrt{x} $ para $ x $:
Então, a inversa é:
Resposta
A função $ f(x) = \sqrt{x} $ definida em $ [0, +\infty[ $ é injetora e sobrejetora, ou seja, bijetora. A sua função inversa é $ f^{-1}(y) = y^2 $.