Encontre o valor médio da função f(x)=x^2+3 x-1 em [-1,2].

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor médio de f(x)=x²+3x−1 no intervalo [−1,2]. Esse é um exercício de Cálculo Integral, especificamente usando o valor médio de função contínua num intervalo. Vamos precisar usar a fórmula do valor médio, que envolve integrar f no intervalo e dividir pelo comprimento do intervalo.

Passo 2

Para funções contínuas em [a,b], o valor médio é dado por 1b-aintegrala^b f(x),dx. Aqui temos a=−1 e b=2, então vamos montar
12-(-1)integral-1^2l(x^2+3x-1r),dx

Passo 3

Agora calculamos a integral. Primeiro achamos uma primitiva de f:
F(x)=integrall(x^2+3x-1r),dx=x^33+3x^22-x

Passo 4

Em seguida avaliamos F em 2 e em −1 e subtraímos:
F(2)=2^33+3cdot2^22-2=83+6-2=203,
F(-1)=(-1)^33+3cdot(-1)^22-(-1)=-13+32+1=136

Passo 5

Logo, a integral definida é
integral-1^2f(x),dx=F(2)-F(-1)=203-136=92

Passo 6

Por fim dividimos pelo comprimento do intervalo (3):
valor médio=13cdot92=96=32é

Resposta

O valor médio de f(x) em [−1,2] é 3/2.

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