Encontre a derivada direcional de f(x, y)=x+y na direção do vetor v=lang<= 1,2rang<=. Qual é a taxa de crescimento máxima de f no ponto P? Em que direção f cresce mais rapidamente no ponto P? Em que direção f decresce mais rapidamente no ponto P?

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x+y na direção de vec v=lang<=1,2rang<=, além da taxa de crescimento máxima em um ponto P e das direções de maior crescimento e de maior decrescimento. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente, então vamos precisar calcular o gradiente de f e normalizar o vetor vec v.

Passo 2

O gradiente de f é definido por nabla f(x,y)=(partial f/partial x,,partial f/partial y). Como partial f/partial x=1 e partial f/partial y=1, temos nabla f(x,y)=(1,1).

Passo 3

O vetor unitário na direção de vec v é dado por hat v=vec v/|vec v|. Primeiro,
|vec v|=raiz1^2+2^2=raiz5,
então
hat v=l(1/raiz5,,2/raiz5r).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de vec v em qualquer ponto P é
Dhat vf(P)=nabla f(P)cdothat v=(1,1)cdotl(1/raiz5,2/raiz5r)=1+2raiz5=3raiz5

Passo 5

A taxa de crescimento máxima de f em P é o módulo do gradiente:
|nabla f(P)|=raiz1^2+1^2=raiz2

Passo 6

Essa máxima taxa ocorre na direção do próprio gradiente normalizado:
nabla f|nabla f|=(1raiz2,,1raiz2)

Passo 7

A direção de decrescimento mais rápido é o oposto do gradiente, isto é,
(-1raiz2,,-1raiz2)

Resposta

A derivada direcional de f na direção de vec v é tfrac3raiz5. A taxa de crescimento máxima de f é raiz2, na direção l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). A direção de decrescimento máximo é l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).

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