Encontre a derivada direcional de
na direção do vetor
. Qual é a taxa de crescimento máxima de
no ponto
? Em que direção
cresce mais rapidamente no ponto
? Em que direção
decresce mais rapidamente no ponto
?
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
na direção de
, além da taxa de crescimento máxima em um ponto
e das direções de maior crescimento e de maior decrescimento. O conteúdo envolve derivada direcional e gradiente, então vamos precisar calcular o gradiente de
e normalizar o vetor
.
Passo 2
O gradiente de
é definido por
. Como
e
, temos
.
Passo 3
O vetor unitário na direção de
é dado por
. Primeiro,
então
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
em qualquer ponto
é
Passo 5
A taxa de crescimento máxima de
em
é o módulo do gradiente:
Passo 6
Essa máxima taxa ocorre na direção do próprio gradiente normalizado:
Passo 7
A direção de decrescimento mais rápido é o oposto do gradiente, isto é,
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
é
. A taxa de crescimento máxima de
é
, na direção
. A direção de decrescimento máximo é
.