Encontre a derivada direcional de f no ponto P, na direção e sentido do vetor \vec{u}. Caso \vec{u} não seja unitário, considere seu versor \vec{v}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|} :
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}, P=(1,1), \vec{u}=3 \vec{i}-4 \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac1{x^2+y^2}
no ponto P=(1,1) na direção do vetor \vec u=3\vec i-4\vec j.
Para isso vamos calcular o gradiente de f, avaliá-lo em P, obter o versor \vec v de \vec u e fazer o produto escalar \nabla f(P)\cdot\vec v.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Como
f(x,y)=(x^2+y^2)^{-1},
usamos a regra da cadeia para obter
\frac{\partial f}{\partial x}=-1\cdot(x^2+y^2)^{-2}\cdot2x=-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}.
Logo
\nabla f(x,y)=\Bigl(-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2},\,-\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}\Bigr).

Passo 3

Avaliar \nabla f em P=(1,1). Como 1^2+1^2=2, temos
\nabla f(1,1)=\Bigl(-\frac{2\cdot1}{2^2},\,-\frac{2\cdot1}{2^2}\Bigr) =\Bigl(-\frac12,\,-\frac12\Bigr).

Passo 4

Obter o versor \vec v de \vec u=(3,-4). O módulo é
\|\vec u\|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5,
portanto
\vec v=\frac{\vec u}{\|\vec u\|}=\Bigl(\frac35,\,-\frac45\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\vec u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\vec v =\Bigl(-\tfrac12,\,-\tfrac12\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac35,\,-\tfrac45\Bigr) =-\tfrac12\cdot\tfrac35+(-\tfrac12)\cdot\bigl(-\tfrac45\bigr) =-\tfrac{3}{10}+\tfrac{4}{10}=\tfrac{1}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}

Exercícios relacionados