Nos itens abaixo, faça o seguinte:
i) Determine o gradiente de f;
ii) Calcule o gradiente de f no ponto P
iii) Calcule a derivada direcional de f em P na direção do vetor \vec{u}
(a) f(x, y)=5 x y^{2}-4 x^{3} y, P=(1,2), \vec{u}=\left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right)
(b) f(x, y)=y \ln x, P=(1,-3), \vec{u}=\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)
(c) f(x, y, z)=x e^{2 y z}, P=(3,0,2), \vec{u}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede, para cada função f dada em (a), (b) e (c):
  1. Determinar o gradiente \nabla f.
  2. Avaliar \nabla f no ponto P.
  3. Calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \vec u.
O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos usar:
\displaystyle\nabla f=(\partial_x f,\partial_y f,\dots).
– Derivada direcional D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u.

Passo 2

Definição do gradiente: se f é função de (x,y) (ou (x,y,z)), então
\nabla f(x,y)=\bigl(\partial_x f(x,y),\,\partial_y f(x,y)\bigr),
\nabla f(x,y,z)=\bigl(\partial_x f,\,\partial_y f,\,\partial_z f\bigr).

Passo 3

Definição da derivada direcional: para vetor unitário \vec u,
D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u.

Passo 4

(a) f(x,y)=5xy^2-4x^3y, P=(1,2), \vec u=(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}).
Cálculo das derivadas parciais:
\partial_x f=5y^2-12x^2y, \quad \partial_y f=10xy-4x^3.
Logo,
\nabla f(x,y)=\bigl(5y^2-12x^2y,\;10xy-4x^3\bigr).
Em P=(1,2):
\nabla f(1,2)=\bigl(5\cdot4-12\cdot1\cdot2,\;10\cdot1\cdot2-4\cdot1\bigr)=(-4,16).
Derivada direcional:
D_{\vec u}f(1,2)=(-4,16)\cdot\Bigl(\tfrac{5}{13},\tfrac{12}{13}\Bigr) =\frac{-20+192}{13}=\frac{172}{13}.

Passo 5

(b) f(x,y)=y\ln x, P=(1,-3), \vec u=(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}).
Derivadas parciais:
\partial_x f=\frac{y}{x}, \quad \partial_y f=\ln x.
Assim,
\nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac{y}{x},\,\ln x\bigr).
Em P=(1,-3):
\nabla f(1,-3)=\bigl(-3,\,0\bigr).
Derivada direcional:
D_{\vec u}f(1,-3)=(-3,0)\cdot\Bigl(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr) =\frac{12}{5}.

Passo 6

(c) f(x,y,z)=x\,e^{2yz}, P=(3,0,2), \vec u=(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}).
Derivadas parciais:
\partial_x f=e^{2yz}, \quad \partial_y f=2xz\,e^{2yz}, \quad \partial_z f=2xy\,e^{2yz}.
Logo,
\nabla f(x,y,z)=\bigl(e^{2yz},\,2xz\,e^{2yz},\,2xy\,e^{2yz}\bigr).
Em P=(3,0,2), temos e^{2\cdot0\cdot2}=1, então
\nabla f(3,0,2)=(1,\,2\cdot3\cdot2,\,2\cdot3\cdot0)=(1,12,0).
Derivada direcional:
D_{\vec u}f(3,0,2)=(1,12,0)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr) =\frac{2-24}{3}=-\frac{22}{3}.

Resposta

(a)
i) \displaystyle\nabla f(x,y)=(5y^2-12x^2y,\;10xy-4x^3)
ii) \nabla f(1,2)=(-4,\,16)
iii) D_{\vec u}f(1,2)=\tfrac{172}{13} (b)
i) \displaystyle\nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac{y}{x},\ln x\bigr)
ii) \nabla f(1,-3)=(-3,\,0)
iii) D_{\vec u}f(1,-3)=\tfrac{12}{5} (c)
i) \displaystyle\nabla f(x,y,z)=\bigl(e^{2yz},\,2xz\,e^{2yz},\,2xy\,e^{2yz}\bigr)
ii) \nabla f(3,0,2)=(1,\,12,\,0)
iii) D_{\vec u}f(3,0,2)=-\tfrac{22}{3}

Exercícios relacionados