Encontre a derivada direcional no ponto dado na direção do vetor vec{v} :
f(x, y, z)=x y z em (1,2,3), \vec{v}= \langle 1,0,-1\rangle

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f(x,y,z)=x y z no ponto (1,2,3) na direção do vetor \vec{v}=\langle 1,0,-1\rangle.
Informações dadas:
f(x,y,z)=x y z,
o ponto onde queremos a derivada direcional é (1,2,3) e o vetor de direção é \vec{v}=\langle 1,0,-1\rangle.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calculá‑la (conceito): a derivada direcional de f no ponto \mathbf{p}=(x_0,y_0,z_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de \mathbf{p} na direção \mathbf{u}. A fórmula que vamos usar é
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f (um vetor formado pelas derivadas parciais) e `` \cdot’’ é o produto escalar. Aqui:
  • \nabla f(\mathbf{p}) representa o vetor \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(\mathbf{p}),\dfrac{\partial f}{\partial y}(\mathbf{p}),\dfrac{\partial f}{\partial z}(\mathbf{p})\right).
  • \mathbf{u} deve ser um vetor unitário (norma igual a 1); se o vetor dado não for unitário, normalizamos dividindo pelo seu comprimento.
Explicação curta do porquê: se definirmos g(t)=f(\mathbf{p}+t\mathbf{u}), então g'(0) é exatamente a derivada direcional e, por regra da cadeia em várias variáveis, isso dá \nabla f(\mathbf{p})\cdot\mathbf{u}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y,z)=x y z, tratamos cada variável como variável e as outras como constantes quando derivamos:
\frac{\partial f}{\partial x}=y z,
\frac{\partial f}{\partial y}=x z,
\frac{\partial f}{\partial z}=x y.
Aqui, por exemplo, \dfrac{\partial f}{\partial x} significa a taxa de variação de f quando apenas x muda e y,z ficam fixos.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2,3). Substituímos x=1, y=2, z=3 nas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2,3)=y z=2\cdot 3=6,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2,3)=x z=1\cdot 3=3,
\frac{\partial f}{\partial z}(1,2,3)=x y=1\cdot 2=2.
Portanto
\nabla f(1,2,3)=\langle 6,\,3,\,2\rangle.

Passo 5

Normalizar o vetor de direção \vec{v}=\langle 1,0,-1\rangle. Primeiro calculamos sua norma (comprimento):
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.
O vetor unitário na mesma direção é
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,\frac{-1}{\sqrt{2}}\right\rangle.
É importante usar o vetor unitário porque a derivada direcional é definida por unidade de deslocamento.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar entre \nabla f(1,2,3) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(1,2,3)=\nabla f(1,2,3)\cdot \mathbf{u} =\langle 6,3,2\rangle\cdot\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{-1}{\sqrt{2}}\right\rangle.
Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(1,2,3)=6\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+3\cdot 0+2\cdot\frac{-1}{\sqrt{2}} =\frac{6-2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}.
Simplificando \dfrac{4}{\sqrt{2}}=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=4\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o valor positivo 2\sqrt{2} significa que, se eu sair do ponto (1,2,3) na direção \langle 1,0,-1\rangle (normalizada), a função f aumenta, e a taxa de aumento por unidade de deslocamento é 2\sqrt{2}. Boa! Você já domina a receita: calcular o gradiente, normalizar o vetor e fazer o produto escalar. Na prova, faça esses passos com calma.

Resposta

2\sqrt{2}

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