Encontre a derivada direcional no ponto dado na direção do vetor
:
em
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
o ponto onde queremos a derivada direcional é
e o vetor de direção é
.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calculá‑la (conceito): a derivada direcional de
no ponto
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção
. A fórmula que vamos usar é
onde
é o gradiente de
(um vetor formado pelas derivadas parciais) e ``
’’ é o produto escalar. Aqui:
-
representa o vetor . -
deve ser um vetor unitário (norma igual a ); se o vetor dado não for unitário, normalizamos dividindo pelo seu comprimento.
Explicação curta do porquê: se definirmos
, então
é exatamente a derivada direcional e, por regra da cadeia em várias variáveis, isso dá
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Como
, tratamos cada variável como variável e as outras como constantes quando derivamos:
Aqui, por exemplo,
significa a taxa de variação de
quando apenas
muda e
ficam fixos.
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituímos
,
,
nas parciais:
Portanto
Passo 5
Normalizar o vetor de direção
. Primeiro calculamos sua norma (comprimento):
O vetor unitário na mesma direção é
É importante usar o vetor unitário porque a derivada direcional é definida por unidade de deslocamento.
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar entre
e
:
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Simplificando
.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o valor positivo
significa que, se eu sair do ponto
na direção
(normalizada), a função
aumenta, e a taxa de aumento por unidade de deslocamento é
. Boa! Você já domina a receita: calcular o gradiente, normalizar o vetor e fazer o produto escalar. Na prova, faça esses passos com calma.