Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
\left\{\begin{array}{ccc}2 D x+(D-1) y & = & t \\\ D x+D y & = & t^{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais em operadores (onde D\) significa derivada em relação a \(t\)): \[\begin{cases} 2D x + (D-1) y = t,\\[4pt] D x + D y = t^{2}. \end{cases}
O que é pedido é resolver esse sistema, ou seja, encontrar as funções x(t)\] e \(y(t) que satisfazem as duas equações simultaneamente. Informações dadas importantes:
  • As incógnitas são as funções x(t) e y(t).
  • D representa o operador derivada: D f = f'.
  • As equações são lineares com coeficientes constantes (em termos do operador D).
  • Devemos usar o método de operadores (eliminar uma variável usando operadores e resolver a equação resultante).]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática curta): vamos eliminar y combinando as duas equações com operadores de forma que o coeficiente de y desapareça. Operadores lineares D e polinômios em D comutam entre si, então podemos aplicar operadores às equações e subtrair. Aqui procuramos operadores A(D) e B(D) tais que A(D)\big((D-1)\big) - B(D)\big(D\big)=0, assim ao aplicar A(D) na primeira equação e B(D) na segunda e subtrair, o termo em y some. Uma escolha simples e natural é aplicar D à primeira equação e aplicar (D-1) à segunda; ao subtrair, o termo em y se anula. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando D à primeira equação temos:
D\big(2D x + (D-1) y\big) = D(t).
Como D é linear e comuta com si mesmo, isso dá
2D^{2} x + D(D-1)y = 1,
pois D(t)=1.
Aplicando (D-1) à segunda equação:
(D-1)\big(D x + D y\big) = (D-1)(t^{2}).
Isso dá
(D-1)D x + (D-1)D y = (D-1)(t^{2}).

Passo 4

Agora subtraímos a segunda expressão da primeira (ou seja, fazemos [ D sobre eq.1] menos [ (D-1) sobre eq.2]) para eliminar y. O coeficiente de y fica
D(D-1) - (D-1)D = 0,
logo y some. O coeficiente de x fica
2D^{2} - (D-1)D = 2D^{2} - (D^{2}-D) = D^{2} + D = D(D+1).
No lado direito ficamos com
D(t) - (D-1)(t^{2}) = 1 - \big(D(t^{2}) - t^{2}\big).
Calculando D(t^{2}) = 2t, obtemos
1 - (2t - t^{2}) = 1 - 2t + t^{2} = (t-1)^{2}.
Portanto obtemos a equação escalar para x:
D(D+1) x = (t-1)^{2},
ou seja
x'' + x' = (t-1)^{2}.

Passo 5

Agora vamos resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem
x'' + x' = (t-1)^{2}.
Primeiro a solução geral da homogênea associada x'' + x' = 0. A equação característica é
r^{2} + r = r(r+1)=0,
com raízes r=0 e r=-1. Assim a solução homogênea é
x_{h}(t) = C_{1} + C_{2} e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora obtemos uma particular x_{p}(t)\) para o lado direito \((t-1)^{2}\). Observação didática: se aplicarmos o operador \(D^{2}+D\) a um polinômio de grau \(n\), o resultado tem grau \(n-1\). Para obter um polinômio de grau \(2\) no lado direito, devemos tentar um polinômio de grau \(3\) como ansatz. Então suponha \[x_{p}(t) = a t^{3} + b t^{2} + c t + d.
Calcule derivadas:
x_{p}'(t) = 3a t^{2} + 2b t + c,
x_{p}''(t) = 6a t + 2b.
Então
x_{p}'' + x_{p}' = 3a t^{2} + (6a+2b)t + (2b + c).
Temos que igualar termo a termo com (t-1)^{2} = t^{2} -2t +1. Assim:
\begin{cases} 3a = 1,\\[4pt] 6a + 2b = -2,\\[4pt] 2b + c = 1. \end{cases}
Resolvendo: a = \dfrac{1}{3}\]. Então \(6a = 2 e 2 + 2b = -2 2b = -4, logo b = -2. Finalmente 2(-2) + c = 1 c = 5. A constante d não aparece na equação (ela corresponde a parte homogênea constante), então podemos tomar d=0 para a particular. Portanto
x_{p}(t) = \dfrac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} + 5t.]

Passo 7

A solução geral para x é soma da homogênea com a particular:
x(t) = C_{1} + C_{2} e^{-t} + \dfrac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} + 5t.
Até aqui temos duas constantes C_{1},C_{2} — como era de se esperar para uma ODE de segunda ordem. Agora precisamos obter y(t) usando uma das equações originais (por exemplo a segunda), e impor qualquer condição adicional que surja ao substituir na primeira para fixar constantes livres que possam aparecer.

Passo 8

Usamos a segunda equação original D x + D y = t^{2}, que é (x+y)' = t^{2}. Integrando:
x(t) + y(t) = \dfrac{1}{3}t^{3} + C_{3},
onde C_{3} é constante de integração. Assim
y(t) = \dfrac{1}{3}t^{3} + C_{3} - x(t).
Substituindo x(t) obtemos
y(t) = \dfrac{1}{3}t^{3} + C_{3} - \Big(C_{1} + C_{2} e^{-t} + \dfrac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} + 5t\Big).
Cancelando \dfrac{1}{3}t^{3} e agrupando:
y(t) = (C_{3}-C_{1}) - C_{2} e^{-t} + 2t^{2} - 5t.
Defina K := C_{3}-C_{1} (aqui K parece uma nova constante). Assim
y(t) = K - C_{2} e^{-t} + 2t^{2} - 5t.

Passo 9

Agora devemos garantir que x(t) e y(t) satisfazem também a primeira equação original 2D x + (D-1) y = t. Ao substituir as expressões encontradas, isso vai determinar K (ou mostrar alguma relação entre constantes). Vamos fazer essa verificação e encontrar K.
Calcule D x e D y. Já temos x(t) e y(t), então:
x'(t) = -C_{2} e^{-t} + \big(\tfrac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} + 5t\big)' = -C_{2} e^{-t} + \big(t^{2} - 4t + 5\big).
y'(t) = C_{2} e^{-t} + (2t^{2} - 5t)' = C_{2} e^{-t} + 4t - 5.
Agora calcule 2D x + (D-1) y = 2x' + (y' - y). Substituindo:
2x’ = 2(-C_{2} e^{-t} + t^{2} - 4t +5) = -2C_{2} e^{-t} + 2t^{2} -8t +10.
y’ - y = (C_{2} e^{-t} + 4t -5) - (K - C_{2} e^{-t} + 2t^{2} -5t)
= 2C_{2} e^{-t} + 9t -2t^{2} -5 - K.
Somando:
2x' + (y' - y) = (-2C_{2} e^{-t}) + (2C_{2} e^{-t}) + (2t^{2}-8t+10) + (9t -2t^{2} -5 - K).
Os termos em e^{-t} se cancelam; os termos em t^{2} também. Restando:
2x' + (y' - y) = ( -8t +10) + (9t -5 - K) = t + 5 - K.
Mas a primeira equação exige que isso seja igual a t. Portanto
t + 5 - K = t \quad\Rightarrow\quad 5 - K = 0 \quad\Rightarrow\quad K = 5.
Conclusão: a constante K não é livre — ela é fixada em 5 pela primeira equação. Assim as constantes independentes finais são C_{1} e C_{2} vindas da solução de x.

Passo 10

Substituindo K=5 na expressão de y, obtemos a solução final completa:
x(t) = C_{1} + C_{2} e^{-t} + \dfrac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} + 5t,
y(t) = 5 - C_{2} e^{-t} + 2t^{2} - 5t,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias (duas constantes, como esperado para um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem).

Resposta

x(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}+\dfrac{1}{3}t^{3}-2t^{2}+5t
y(t)=5-C_{2}e^{-t}+2t^{2}-5t

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