Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
\left\{\begin{aligned} 2 \frac{d x}{d t}-5 x+\frac{d y}{d t} & =e^{t} \\\ \frac{d x}{d t}-x+\frac{d y}{d t} & =5 e^{t}\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos\n
  • Temos um sistema de duas equações diferenciais para as funções x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} 2\frac{dx}{dt}-5x+\frac{dy}{dt}=e^{t},\\[4pt] \frac{dx}{dt}-x+\frac{dy}{dt}=5e^{t}. \end{cases}
  • A incógnita é encontrar x(t)\] e \(y(t) gerais (com constantes arbitrárias).
  • O lado direito de ambas as equações envolve e^{t}.
  • Não há nenhuma outra informação (condições iniciais), então o resultado terá duas constantes arbitrárias.\n
    (Na próxima etapa eu começo a resolver o sistema passo a passo usando o método de operadores.)]

Passo 2

Introduzindo o operador D\) e reescrevendo o sistema\n - Definimos o operador \(D\) como \(D=\dfrac{d}{dt}\). Isso permite tratar \(D\) quase como uma variável algébrica ao manipular equações lineares com coeficientes constantes. - Reescrevendo cada termo \(\dfrac{dx}{dt}\) como \(Dx\) e \(\dfrac{dy}{dt}\) como \(Dy\), o sistema fica: \[\begin{cases} (2D-5)x + Dy = e^{t},\\[4pt] (D-1)x + Dy = 5e^{t}. \end{cases}
  • A vantagem: as duas equações têm o mesmo termo Dy\], então podemos eliminar \(Dy combinando as equações de forma algébrica (subtração, adição).]

Passo 3

Eliminando Dy subtraindo as equações\n
  • Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar Dy:
\big[(2D-5) - (D-1)\big]x + \big[Dy - Dy\big] = e^{t} - 5e^{t}.
  • Calculo o operador resultante sobre x:
(2D-5)-(D-1) = 2D-5-D+1 = D-4.
  • No lado direito: e^{t}-5e^{t}=-4e^{t}. Portanto obtemos a equação para x:
(D-4)x = -4e^{t},
que em forma habitual é
\frac{dx}{dt} - 4x = -4e^{t}.

Passo 4

Resolvendo a equação para x: ideia geral\n
  • A equação x' - 4x = -4e^{t} é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. O método padrão: encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular,
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t).
  • Vou calcular x_{h} (solução da homogênea) e depois x_{p} (uma particular que satisfaça a não-homogeneidade).

Passo 5

Solução homogênea e particular para x\n
  • Homogênea: resolver x' - 4x = 0. Separando variáveis ou reconhecendo equação exponencial, obtemos
x_{h}(t) = C_{1}e^{4t},
onde C_{1} é uma constante arbitrária.\n
  • Particular: o termo não-homogêneo é -4e^{t}. Como o lado é proporcional a e^{t} e e^{t} não é solução da homogênea (pois a raiz homogênea corresponde a e^{4t}), tentamos uma forma x_{p}(t)=A e^{t} com A constante. Substituindo:
x_{p}' - 4x_{p} = A e^{t} - 4A e^{t} = -3A e^{t}.
Queremos isso igual a -4e^{t}, então -3A = -4, ou seja A=\dfrac{4}{3}. Portanto
x_{p}(t)=\frac{4}{3}e^{t}.
  • Assim a solução geral para x é
x(t) = C_{1}e^{4t} + \frac{4}{3}e^{t}.

Passo 6

Encontrando y a partir de uma das equações originais\n
  • Agora que temos x(t), uso uma das equações originais para obter y. Vou usar a segunda equação reescrita em operador:
(D-1)x + Dy = 5e^{t}.
  • Reescrevo como Dy = 5e^{t} - (D-1)x. Ou seja
\frac{dy}{dt} = 5e^{t} - \big(x' - x\big).
  • Vou calcular explicitamente x' e x'-x usando a expressão de x(t):
x(t)=C_{1}e^{4t}+\frac{4}{3}e^{t}
então
x'(t)=4C_{1}e^{4t}+\frac{4}{3}e^{t}.
  • Portanto
x'(t)-x(t)=\big(4C_{1}e^{4t}+\tfrac{4}{3}e^{t}\big)-\big(C_{1}e^{4t}+\tfrac{4}{3}e^{t}\big)=3C_{1}e^{4t}.
(Observe como os termos em e^{t} se cancelam — isso simplifica bastante.)

Passo 7

Integração para obter y(t)\n
  • Substituindo em Dy:
\frac{dy}{dt}=5e^{t}-3C_{1}e^{4t}.
  • Integrando termo a termo em t:
y(t)=\int\big(5e^{t}-3C_{1}e^{4t}\big)\,dt = 5e^{t} - \frac{3C_{1}}{4}e^{4t} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante arbitrária de integração.\n
  • Assim obtemos
y(t)=C_{2}+5e^{t}-\frac{3C_{1}}{4}e^{4t}.

Passo 8

Organizando constantes e fazendo uma verificação rápida\n
  • Podemos renomear C_{1} e C_{2} como constantes arbitrárias (por exemplo A e B) se preferir, mas não é necessário. A solução geral do sistema é:
x(t)=C_{1}e^{4t}+\frac{4}{3}e^{t}, \qquad y(t)=C_{2}+5e^{t}-\frac{3C_{1}}{4}e^{4t}.
  • Verificação (rápida): diferenciando e substituindo de volta nas equações originais as combinações se cancelam corretamente e os lados direitos ficam e^{t} e 5e^{t} — portanto a solução está consistente (fizemos a verificação mental dos cancelamentos em passos anteriores).

Resposta

x(t)=C_{1}e^{4t}+\dfrac{4}{3}e^{t}\n
y(t)=C_{2}+5e^{t}-\dfrac{3C_{1}}{4}e^{4t}

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