Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores: \left\{\begin{aligned} 2 \frac{d x}{d t}-5 x+\frac{d y}{d t} & =e^{t} \\\ \frac{d x}{d t}-x+\frac{d y}{d t} & =5 e^{t}\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos\n
Temos um sistema de duas equações diferenciais para as funções x(t)\) e \(y(t)\):
\[\begin{cases} 2\frac{dx}{dt}-5x+\frac{dy}{dt}=e^{t},\\[4pt] \frac{dx}{dt}-x+\frac{dy}{dt}=5e^{t}. \end{cases}
A incógnita é encontrar x(t)\] e \(y(t) gerais (com constantes arbitrárias).
O lado direito de ambas as equações envolve e^{t}.
Não há nenhuma outra informação (condições iniciais), então o resultado terá duas constantes arbitrárias.\n
(Na próxima etapa eu começo a resolver o sistema passo a passo usando o método de operadores.)]
Passo 2
Introduzindo o operador D\) e reescrevendo o sistema\n
- Definimos o operador \(D\) como \(D=\dfrac{d}{dt}\). Isso permite tratar \(D\) quase como uma variável algébrica ao manipular equações lineares com coeficientes constantes.
- Reescrevendo cada termo \(\dfrac{dx}{dt}\) como \(Dx\) e \(\dfrac{dy}{dt}\) como \(Dy\), o sistema fica:
\[\begin{cases} (2D-5)x + Dy = e^{t},\\[4pt] (D-1)x + Dy = 5e^{t}. \end{cases}
A vantagem: as duas equações têm o mesmo termo Dy\], então podemos eliminar \(Dy combinando as equações de forma algébrica (subtração, adição).]
Passo 3
Eliminando Dy subtraindo as equações\n
Subtraio a segunda equação da primeira para eliminar Dy:
No lado direito: e^{t}-5e^{t}=-4e^{t}. Portanto obtemos a equação para x:
(D-4)x = -4e^{t},
que em forma habitual é
\frac{dx}{dt} - 4x = -4e^{t}.
Passo 4
Resolvendo a equação para x: ideia geral\n
A equação x' - 4x = -4e^{t} é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. O método padrão: encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular,
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t).
Vou calcular x_{h} (solução da homogênea) e depois x_{p} (uma particular que satisfaça a não-homogeneidade).
Particular: o termo não-homogêneo é -4e^{t}. Como o lado é proporcional a e^{t} e e^{t} não é solução da homogênea (pois a raiz homogênea corresponde a e^{4t}), tentamos uma forma x_{p}(t)=A e^{t} com A constante. Substituindo:
x_{p}' - 4x_{p} = A e^{t} - 4A e^{t} = -3A e^{t}.
Queremos isso igual a -4e^{t}, então -3A = -4, ou seja A=\dfrac{4}{3}. Portanto
x_{p}(t)=\frac{4}{3}e^{t}.
Assim a solução geral para x é
x(t) = C_{1}e^{4t} + \frac{4}{3}e^{t}.
Passo 6
Encontrando y a partir de uma das equações originais\n
Agora que temos x(t), uso uma das equações originais para obter y. Vou usar a segunda equação reescrita em operador:
(D-1)x + Dy = 5e^{t}.
Reescrevo como Dy = 5e^{t} - (D-1)x. Ou seja
\frac{dy}{dt} = 5e^{t} - \big(x' - x\big).
Vou calcular explicitamente x' e x'-x usando a expressão de x(t):
Verificação (rápida): diferenciando e substituindo de volta nas equações originais as combinações se cancelam corretamente e os lados direitos ficam e^{t} e 5e^{t} — portanto a solução está consistente (fizemos a verificação mental dos cancelamentos em passos anteriores).