Encontre a derivada: F(x)=integral0^1 / x sen^4 t d t

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função definida por uma integral com limite superior dependente de x:
F(x)=∫₀^{1/x} sen⁴(t) dt. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 combinado com a Regra da Cadeia.

Passo 2

Para usar o Teorema Fundamental: se G(x)=∫_{a}^{u(x)} f(t) dt então G’(x)=f(u(x))·u’(x). Aqui temos f(t)=sen⁴(t) e u(x)=1/x.

Passo 3

Calculamos u’(x). Como u(x)=x^{-1},
u’(x)=-1·x^{-2}=-1/x². Aplicando a fórmula do passo anterior:
G’(x)=sen⁴(u(x))·u’(x)=sen⁴(1/x)·(-1/x²).

Resposta

-sin^4(1/x)x^2

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