Encontre a derivada: F(x)=integralx^x^3 raiz1-t^5 d t

Passo 1

O exercício pede para derivar a função definida por uma integral com limites que dependem de x. O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo estendido (Regra de Leibniz) e vamos precisar usar também a regra da cadeia para derivar os limites.

Passo 2

Para resolver, lembramos que se F(x)=integralu(x)^v(x)f(t),dt, então pela Regra de Leibniz temos
F'(x)=fl(v(x)r),v'(x)-fl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
u(x)=x e u'(x)=1.
v(x)=x^3 e v'(x)=3x^2.
f(t)=raiz1-t^5

Passo 4

Aplicando a fórmula da Regra de Leibniz, obtemos
F'(x)=raiz1-(x^3)^5cdot3x^2-raiz1-x^5cdot1
Como (x^3)^5=x^15, fica
F'(x)=3x^2raiz1-x^15-raiz1-x^5

Resposta

3x^2raiz1-x^15-raiz1-x^5

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