Use o método do ponto médio, a regra do trapézio e a regra de Simpson para aproximar integrala^b f(x) d x para a função: f(x)=x1+x^2,[a, b]=[0,2] e n=8.

Passo 1

O enunciado quer aproximar a integral
integral0^2x1+x^2,dx
pelos métodos numéricos do ponto médio, do trapézio e de Simpson usando n=8 subintervalos. Vamos precisar dividir o intervalo em partes iguais, avaliar f(x)=tfracx1+x^2 nos nós ou pontos médios, e aplicar as fórmulas compostas de cada regra.

Passo 2

Dividimos [0,2] em n=8 subintervalos de tamanho
h=b-an=2-08=0,25
Os nós são
xi = 0 + i,h, i=0,1,dots,8

Passo 3

Ponto médio composto. Em cada subintervalo [xi-1,xi] usamos o ponto
xi^* = xi-1 + h2 = 0 + l(i-tfrac12r)h, i=1,dots,8
A regra é
M = hsumi=1^8 fl(xi^*r)
Calculando rapidamente:
&x^* = 0,125,;0,375,;0,625,;0,875,;1,125,;1,375,;1,625,;1,875, &f(x^*)approx 0,12308,;0,32877,;0,44944,;0,49558,;0,49655,;0,47587,;0,44689,;0,41514,
que somam sum f(xi^*)approx3,231305. Logo
M = 0,25 times 3,231305 approx 0,807826

Passo 4

Trapézio composto. A fórmula é
T = h2l[f(x0)+2sumi=1^7f(xi)+f(x8)r]
Já temos x0=0,;x8=2. Avaliando em xi=0,25,0,5,dots,1,75:
f(0)=0,;f(0,25)approx0,23529,;f(0,5)=0,4,;f(0,75)=0,48,;f(1)=0,5,
f(1,25)approx0,48781,;f(1,5)approx0,46154,;f(1,75)approx0,43077,;f(2)=0,4
A soma dos internos i=1 a 7 é aproximadamente 2,995406. Assim
T = 0,252l(0+2cdot2,995406+0,4r) =0,125times6,390812approx0,798852

Passo 5

Simpson composto. A regra é
Já temos , . Somando os termos ímpares
e os pares
Logo

Resposta

Ponto médio composto: 0,807826
Trapézio composto: 0,798852
Simpson composto: 0,804879

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