Encontre a derivada: F(x)=integralx^2^x^3 ln t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de F(x)=integralx^2^x^3 ln t^2,dt. O conteúdo principal aqui é a Regra de Leibniz (FTC com limites dependentes de x) e a simplificação de ln t^2. Vamos usar a fórmula dfracddxintegrala(x)^b(x)f(t),dt = fl(b(x)r),b'(x) - fl(a(x)r),a'(x).

Passo 2

Primeiro, note que ln t^2=2ln|t|. Assim podemos definir f(t)=ln t^2=2ln|t|.
Aplicando a Regra de Leibniz:
F'(x)=fl(x^3r)cdot l(x^3r)' - fl(x^2r)cdot l(x^2r)'

Passo 3

Calculando cada termo:
  • l(x^3r)'=3x^2
  • l(x^2r)'=2x
  • f(x^3)=2ln|x^3|=6ln|x|
  • f(x^2)=2ln|x^2|=4ln|x|
    Substituindo em F'(x):
F'(x)=6ln|x|cdot 3x^2 - 4ln|x|cdot 2x

Passo 4

Simplificando:
F'(x)=18x^2ln|x| -8xln|x|=2xln|x|,(9x-4)

Resposta

F'(x)=2xln|x|,(9x-4)

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