4a. |z-2|=|z-3 i|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação |z-2|=|z-3i|. Aqui estamos lidando com números complexos e suas distâncias no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que qualquer número complexo z pode ser escrito como z = x + iy, onde x é a parte real e y é a parte imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo z como z = x + iy. Isso nos ajuda a trabalhar com as partes reais e imaginárias separadamente.

Passo 3

Agora, substituímos z = x + iy na equação dada:
|z - 2| = |z - 3i|
Ficando:
| (x + iy) - 2 | = | (x + iy) - 3i |

Passo 4

Vamos calcular os módulos (distâncias) de cada lado da equação. Lembrando que para qualquer número complexo a + ib, o módulo é dado por raiza^2 + b^2.
Então:
| (x + iy) - 2 | = raiz(x - 2)^2 + y^2
e
| (x + iy) - 3i | = raizx^2 + (y - 3)^2

Passo 5

Agora, igualamos os dois módulos:
raiz(x - 2)^2 + y^2 = raizx^2 + (y - 3)^2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y - 3)^2

Passo 6

Vamos expandir os termos:
(x^2 - 4x + 4) + y^2 = x^2 + (y^2 - 6y + 9)

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação cancelando termos iguais dos dois lados:
-4x + 4 = -6y + 9

Passo 8

Vamos isolar as variáveis para resolver a equação em termos de y:
-4x + 4 - 9 = -6y
Simplificando:
-4x - 5 = -6y
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar as variáveis positivas:
4x + 5 = 6y

Passo 9

Finalmente, vamos expressar y em função de x:
y = 46x + 56
Simplificando a fração:
y = 23x + 56

Resposta

A solução da equação é a reta definida por y = dfrac23x + dfrac56.

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