Encontre a derivada de:
f(x)=\ln (\operatorname{tgh} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr).
O conteúdo envolvido é o uso da regra da cadeia para a função logaritmo e a derivada da função hiperbólica \operatorname{tanh} x.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), onde u(x)=\operatorname{tanh} x. Assim,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x) para u(x)=\operatorname{tanh} x. Sabe-se que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr)=\sech^2 x.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)/u(x), obtemos
f'(x)=\frac{\sech^2 x}{\operatorname{tanh} x}.
Podemos ainda reescrever usando \operatorname{tanh} x=\operatorname{sinh} x/\operatorname{cosh} x e \sech x=1/\operatorname{cosh} x, mas a forma acima já é final.

Resposta

f'(x)=\frac{\sech^2 x}{\operatorname{tanh} x}.

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