Encontre a derivada de:
f(x)=\ln (\operatorname{tgh} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{tanh} x\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia aplicada ao logaritmo natural e a derivada da função hiperbólica \operatorname{tanh} x.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{tanh} x,
de modo que
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Pela regra da cadeia e pela derivada do logaritmo natural, temos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Calculamos a derivada de u(x)=\operatorname{tanh} x. Sabemos que
u'(x)=(\operatorname{tanh} x)'=\sech^2 x.

Passo 5

Substituindo u'(x) e u(x) em f'(x)=u'(x)/u(x), obtemos
f'(x)=\frac{\sech^2 x}{\operatorname{tanh} x}.
Para simplificar ainda mais, note que \sech^2 x=1/\operatorname{cosh}^2 x e \operatorname{tanh} x=\operatorname{sinh} x/\operatorname{cosh} x. Logo,
f'(x)=\frac{1/\operatorname{cosh}^2 x}{\operatorname{sinh} x/\operatorname{cosh} x} =\frac{1}{\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\sech^2 x}{\operatorname{tanh} x} =\frac{1}{\operatorname{sinh} x\,\operatorname{cosh} x}.

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