Encontre a derivada de:
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\left(\operatorname{tgh} x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\bigl(\tgh(x^{2})\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada de função composta, usando a regra da cadeia, a derivada de \operatorname{sen}^{-1}(u) e a derivada de \tgh(v).

Passo 2

Começamos aplicando a regra da cadeia para
f(x)=\operatorname{sen}^{-1}\bigl(u(x)\bigr),
onde u(x)=\tgh(x^{2}). Temos
f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^{2}}}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x) com u(x)=\tgh\bigl(x^{2}\bigr). Como
\frac{d}{dv}\tgh(v)=\sech^{2}(v) \quad\text{e}\quad v(x)=x^{2}\implies v'(x)=2x,
vem
u'(x)=2x\,\sech^{2}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo em
f'(x) =\frac{2x\,\sech^{2}\bigl(x^{2}\bigr)}{\sqrt{1-\tgh^{2}\bigl(x^{2}\bigr)}}.

Passo 5

Usamos a identidade hiperbólica
1-\tgh^{2}(z)=\sech^{2}(z),
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\sqrt{1-\tgh^{2}\bigl(x^{2}\bigr)} =\sech\bigl(x^{2}\bigr)
(positivo para todo x). Então
f'(x) =\frac{2x\,\sech^{2}\bigl(x^{2}\bigr)}{\sech\bigl(x^{2}\bigr)} =2x\,\sech\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

f'(x)=2x\,\sech\bigl(x^{2}\bigr).

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