Encontre a derivada de:
f(x)=\operatorname{senh}\left(e^{2 x}\right)

Passo 1

Temos f(x)=\operatorname{senh}\bigl(e^{2x}\bigr). O conteúdo aqui é derivada de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia. Precisamos lembrar que
  1. \displaystyle\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{senh}u\bigr)=\operatorname{cosh}u,
  2. \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2e^{2x}.

Passo 2

Defina u(x)=e^{2x}. Então f(x)=\operatorname{senh}\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{senh}u\bigr)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x) =\operatorname{cosh}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Como u(x)=e^{2x}, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)=2e^{2x}.
Substituindo em f'(x),
f'(x)=\operatorname{cosh}\bigl(e^{2x}\bigr)\cdot2e^{2x}.

Resposta

f'(x)=2e^{2x}\operatorname{cosh}\bigl(e^{2x}\bigr)

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