Encontre a derivada de:
f(x)=\operatorname{cossec}^{-1}\left(2 e^{3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{cossec}^{-1}\!\bigl(2e^{3x}\bigr).
Aqui o conteúdo é cálculo de derivada de função composta que envolve a função inversa \operatorname{cossec}^{-1} (arccosecante) e a função exponencial. Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de \operatorname{cossec}^{-1}(u).

Passo 2

Seja u(x)=2e^{3x}.
Para y=\operatorname{cossec}^{-1}(u) a fórmula conhecida é
\frac{dy}{dx} =-\frac{u'}{\lvert u\rvert\,\sqrt{u^{2}-1}}.
Isso vem da derivada de arccosecante, onde aparece o valor absoluto de u e o fator \sqrt{u^2-1}.

Passo 3

Calculemos u'. Como u(x)=2e^{3x}, pela regra da exponencial temos
u'(x)=2\cdot 3e^{3x}=6e^{3x}.
Além disso, 2e^{3x}>0 para todo x, logo \lvert u\rvert= u=2e^{3x}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada de arccosecante:
f'(x) =-\frac{6e^{3x}}{(2e^{3x})\,\sqrt{(2e^{3x})^{2}-1}} =-\frac{6e^{3x}}{2e^{3x}\,\sqrt{4e^{6x}-1}} =-\frac{3}{\sqrt{4e^{6x}-1}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{\sqrt{4e^{6x}-1}}.

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