Sejam dois vetores
e
. Calcule (ii) o produto vetorial entre esses vetores.
4. Seja um campo vetorial
dado por
. Calcule o divergente e o rotacional desse campo.
4. Seja um campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com cálculo vetorial, especificamente calculando o divergente e o rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos precisar entender como aplicar as fórmulas de divergente e rotacional usando derivadas parciais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente de um campo vetorial
é dado por:
Isso basicamente mede como o campo está “espalhando” ou “convergindo” em um ponto.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Então:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, somamos essas derivadas para obter o divergente:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional é dado por:
O rotacional nos mostra a “circularidade” ou a tendência de giro do campo vetorial em torno de um ponto.
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Componente
: Então: -
Componente
: Então: -
Componente
: Então:
Agora, juntando tudo:
Resposta
O divergente de
é:
E o rotacional de
é: