Encontre a derivada de
nos seguintes casos:
(iv)
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = (\sin x)^{-4} $. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Isso significa que estamos elevando o seno de x à potência de -4.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do poder, que nos diz como derivar funções da forma $ [g(x)]^n $. A regra é:
Aqui, $ g(x) = \sin x $ e $ n = -4 $.
Passo 4
Vamos identificar cada parte:
- $ n = -4 $
- $ g(x) = \sin x $
- A derivada de $ g(x) $, ou seja, $ g’(x) = \cos x $ (porque a derivada de seno é cosseno)
Passo 5
Aplicando a regra do poder:
Aqui, diminuímos o expoente em 1 (de -4 para -5) e multiplicamos pela derivada de $ \sin x $, que é $ \cos x $.
Passo 6
Podemos reescrever o resultado de forma mais clara:
Ou, se preferir, usando uma notação com potência negativa:
Resposta
A derivada de $ f(x) = (\sin x)^{-4} $ é: