Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
(i)
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(ii)
.
(i)
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o laplaciano de dois campos escalares diferentes. O laplaciano é uma operação matemática que envolve calcular as derivadas segundas de uma função em relação a cada uma das suas variáveis e somar tudo. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos lá!
Passo 2
Parte (i): $ T(x, y, z) = x^{4} + 2x{2}y{2} - 3z + 2 $
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Derivada segunda em relação a $ x $:
Primeiro, encontre a primeira derivada em relação a $ x $:
Agora, derive novamente em relação a $ x $:
Passo 4
Derivada segunda em relação a $ y $:
Primeiro, encontre a primeira derivada em relação a $ y $:
Agora, derive novamente em relação a $ y $:
Passo 5
Derivada segunda em relação a $ z $:
Primeiro, encontre a primeira derivada em relação a $ z $:
Agora, derive novamente em relação a $ z $:
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas segundas para obter o laplaciano:
Passo 7
Parte (ii): $ T(x, y, z) = \sin x \sin y \sin z $
Vamos seguir o mesmo processo para essa função.
Passo 8
Derivada segunda em relação a $ x $:
Primeiro, a primeira derivada em relação a $ x $:
Agora, a segunda derivada em relação a $ x $:
Passo 9
Derivada segunda em relação a $ y $:
Primeiro, a primeira derivada em relação a $ y $:
Agora, a segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 10
Derivada segunda em relação a $ z $:
Primeiro, a primeira derivada em relação a $ z $:
Agora, a segunda derivada em relação a $ z $:
Passo 11
Somando todas as derivadas segundas para obter o laplaciano:
Resposta
(i) $ \nabla^{2} T = 16x^{2} + 4y^{2} $
(ii) $ \nabla^{2} T = -3 \sin x \sin y \sin z $