Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
(i) T(x, y, z)=x^4+2 x^2 y^2-3 z+2.
(ii) T(x, y, z)=sin x sin y sin z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o laplaciano de dois campos escalares diferentes. O laplaciano é uma operação matemática que envolve calcular as derivadas segundas de uma função em relação a cada uma das suas variáveis e somar tudo. Para isso, vamos precisar conhecer as derivadas parciais de segunda ordem. Vamos lá!

Passo 2

Parte (i): $ T(x, y, z) = x^{4} + 2x{2}y{2} - 3z + 2 $
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Derivada segunda em relação a $ x $:
Primeiro, encontre a primeira derivada em relação a $ x $:
x
Agora, derive novamente em relação a $ x $:
x

Passo 4

Derivada segunda em relação a $ y $:
Primeiro, encontre a primeira derivada em relação a $ y $:
y
Agora, derive novamente em relação a $ y $:
y

Passo 5

Derivada segunda em relação a $ z $:
Primeiro, encontre a primeira derivada em relação a $ z $:
z
Agora, derive novamente em relação a $ z $:
z

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas segundas para obter o laplaciano:
nabla^2 T = partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 = (12x^2 + 4y^2) + 4x^2 + 0 = 16x^2 + 4y^2

Passo 7

Parte (ii): $ T(x, y, z) = \sin x \sin y \sin z $
Vamos seguir o mesmo processo para essa função.

Passo 8

Derivada segunda em relação a $ x $:
Primeiro, a primeira derivada em relação a $ x $:
x
Agora, a segunda derivada em relação a $ x $:
x

Passo 9

Derivada segunda em relação a $ y $:
Primeiro, a primeira derivada em relação a $ y $:
y
Agora, a segunda derivada em relação a $ y $:
y

Passo 10

Derivada segunda em relação a $ z $:
Primeiro, a primeira derivada em relação a $ z $:
z
Agora, a segunda derivada em relação a $ z $:
z

Passo 11

Somando todas as derivadas segundas para obter o laplaciano:
nabla^2 T = partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 = (-sin x sin y sin z) + (-sin x sin y sin z) + (-sin x sin y sin z) = -3 sin x sin y sin z

Resposta

(i) $ \nabla^{2} T = 16x^{2} + 4y^{2} $
(ii) $ \nabla^{2} T = -3 \sin x \sin y \sin z $

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