Encontre a derivada da função.
f(x)=log 5(x e^x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=log5!l(xe^xr)
O conteúdo aqui é derivada de função logarítmica de base a. Vamos usar a mudança de base para logaritmo natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a fórmula de mudança de base
log5(u)=ln(u)ln(5),
com u(x)=x e^x. Assim
f(x)=lnl(xe^xr)ln(5)

Passo 3

Para derivar, aplicamos a constante 1/ln(5) e a regra da cadeia em lnl(xe^xr):
f'(x) =1ln(5)cdotddxl[lnl(xe^xr)r] =1ln(5)cdot(xe^x)'xe^x

Passo 4

Calculamos (xe^x)' pela regra do produto:
(xe^x)'=e^x+x e^x=e^x(1+x)
Substituindo em f'(x):
f'(x) =1ln(5)cdote^x(1+x)x e^x =1+xx,ln(5)

Resposta

f'(x)=1+xx,ln(5)

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