Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x)=\frac{1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de
f(x)=\frac{1}{x^{2}-4}
usando a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
além de indicar os domínios de f e de f'. Vamos usar álgebra de frações e propriedades de limite para chegar ao resultado.

Passo 2

Antes de derivar, vemos que f(x) só está bem definida quando o denominador não anula, isto é,
x^{2}-4\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq2,\;x\neq-2.
Logo o domínio de f é
\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Passo 3

Aplicando a definição, escrevemos o quociente
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\frac{1}{(x+h)^{2}-4}-\frac{1}{x^{2}-4}}{h} =\frac{1}{h}\,\frac{x^{2}-4-\bigl((x+h)^{2}-4\bigr)}{\bigl((x+h)^{2}-4\bigr)\,(x^{2}-4)}.
No numerador interno temos
x^{2}-4-\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}-4\bigr) =-2xh-h^{2} =-h\,(2x+h).

Passo 4

Substituindo esse resultado no quociente e cancelando h, obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{-h\,(2x+h)}{h\,\bigl((x+h)^{2}-4\bigr)\,(x^{2}-4)} =-\frac{2x+h}{\bigl((x+h)^{2}-4\bigr)\,(x^{2}-4)}.
Agora fazemos o limite quando h\to0:

Passo 5

Ao levar h\to0, (x+h)^{2}\to x^{2}, então
f'(x) =\lim_{h\to0}\Bigl(-\frac{2x+h}{\bigl((x+h)^{2}-4\bigr)\,(x^{2}-4)}\Bigr) =-\frac{2x}{\bigl(x^{2}-4\bigr)^{2}}.

Passo 6

Para que f'(x) exista, também não pode haver divisão por zero em \bigl(x^{2}-4\bigr)^{2}. Isso dá a mesma restrição x\neq\pm2. Portanto o domínio de f' é
\mathcal{D}_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Resposta

O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.
A derivada é
f'(x)=-\frac{2x}{\bigl(x^{2}-4\bigr)^{2}},
com domínio \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

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