Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
O enunciado pede para achar a derivada de
usando a definição
além de indicar os domínios de
e de
. Vamos usar álgebra de frações e propriedades de limite para chegar ao resultado.
Passo 2
Antes de derivar, vemos que
só está bem definida quando o denominador não anula, isto é,
Logo o domínio de
é
Passo 3
Aplicando a definição, escrevemos o quociente
No numerador interno temos
Passo 4
Substituindo esse resultado no quociente e cancelando
, obtemos
Agora fazemos o limite quando
:
Passo 5
Ao levar
,
, então
Passo 6
Para que
exista, também não pode haver divisão por zero em
. Isso dá a mesma restrição
. Portanto o domínio de
é
Resposta
O domínio de
é
.
A derivada é
A derivada é
com domínio
.