Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
g(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}}
usando a definição
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
além de determinar o domínio de g e de g'. Vamos precisar conhecer a definição de limite e as propriedades de radicais.

Passo 2

Determinar o domínio de g. A raiz \sqrt{x} exige x\ge0. O denominador 1+\sqrt{x} nunca se anula para x\ge0 (pois \sqrt{x}\ge0 implica 1+\sqrt{x}\ge1). Logo,
\text{Domínio de }g = [0,\infty).í

Passo 3

Escrever o quociente de diferença:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =\frac{\frac{1}{1+\sqrt{x+h}}-\frac{1}{1+\sqrt{x}}}{h} =\frac{(1+\sqrt{x})-(1+\sqrt{x+h})}{h\,(1+\sqrt{x+h})(1+\sqrt{x})}.
No numerador sobra \sqrt{x}-\sqrt{x+h}.

Passo 4

Racionalizar o numerador \sqrt{x}-\sqrt{x+h} multiplicando por \sqrt{x}+\sqrt{x+h}:
\sqrt{x}-\sqrt{x+h} =\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}} =\frac{x-(x+h)}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}} =\frac{-h}{\sqrt{x}+\sqrt{x+h}}.
Substituindo no quociente:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =-\frac{h}{h\,(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})(1+\sqrt{x+h})(1+\sqrt{x})} =-\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})(1+\sqrt{x+h})(1+\sqrt{x})}.

Passo 5

Fazer h\to0. Então \sqrt{x+h}\to\sqrt{x} e
g'(x) =\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =-\frac{1}{(2\sqrt{x})(1+\sqrt{x})^{2}} =-\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{2}}.
Essa expressão só vale para x>0, pois aparece \sqrt{x} no denominador.

Resposta

Domínio de g: [0,\infty).
Domínio de g': (0,\infty).
Derivada:
g'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{2}}\quad\text{para }x>0.

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