Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
A(p)=4 p^{3}+3 p

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de A(p)=4p^{3}+3p usando a definição
A'(p)=\lim_{h\to0}\frac{A(p+h)-A(p)}{h}
e também determinar os domínios de A e de A'. Como A é um polinômio, seu domínio é \mathbb{R}, e esperamos que o de A' também seja \mathbb{R}.

Passo 2

Calculemos o quociente de diferenças e simplifiquemos:
\frac{A(p+h)-A(p)}{h} = \frac{4(p+h)^{3}+3(p+h)-\bigl(4p^{3}+3p\bigr)}{h} = \frac{12p^{2}h+12p\,h^{2}+4h^{3}+3h}{h}
=12p^{2}+12p\,h+4h^{2}+3.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando h\to0:
A'(p) =\lim_{h\to0}\bigl(12p^{2}+12p\,h+4h^{2}+3\bigr) =12p^{2}+3.

Resposta

A derivada é
A'(p)=12p^{2}+3.
O domínio de A é \mathbb{R} e o domínio de A' também é \mathbb{R}.

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