Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}} usando a definição
da derivada por limite. Vamos identificar o domínio de f, montar o quociente
de diferença
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
e calcular o limite quando h\to0, usando racionalização para eliminar
as raízes.

Passo 2

Para f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}} o radicando deve ser positivo:
1+x>0\quad\Longrightarrow\quad x>-1.
Portanto o domínio de f é (-1,\infty).

Passo 3

Pela definição,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x+h}}-\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{h}.
Para simplificar, colocamos sobre um único denominador e depois racionalizamos:
\frac{1}{\sqrt{1+x+h}}-\frac{1}{\sqrt{1+x}} =\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x+h}}{\sqrt{1+x+h}\,\sqrt{1+x}}.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h}:
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x+h}}{h\,\sqrt{1+x+h}\,\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h}} =\frac{(1+x)-(1+x+h)}{h\,\sqrt{1+x+h}\,\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h})}.
No numerador (1+x)-(1+x+h)=-h, então
\frac{-h}{h\,\sqrt{1+x+h}\,\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h})} =-\frac{1}{\sqrt{1+x+h}\,\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h})}.

Passo 5

Agora tomamos o limite h\to0. Como \sqrt{1+x+h}\to\sqrt{1+x},
f'(x) =\lim_{h\to0}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1+x+h}\,\sqrt{1+x}\,(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+x+h})}\Bigr) =-\frac{1}{\sqrt{1+x}\,\sqrt{1+x}\,(2\sqrt{1+x})} =-\frac{1}{2\,(1+x)^{3/2}}.

Passo 6

A expressão de f'(x)=-\frac{1}{2(1+x)^{3/2}} exige 1+x>0 e
(1+x)^{3/2}\neq0, o que dá novamente x>-1.
Logo o domínio de f' é também (-1,\infty).

Resposta

A derivada é
f'(x)=-\frac{1}{2(1+x)^{3/2}}.
O domínio de f é (-1,\infty) e o domínio de f' é (-1,\infty).

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