Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
usando a definição
da derivada por limite. Vamos identificar o domínio de , montar o quociente
de diferença
da derivada por limite. Vamos identificar o domínio de
de diferença
e calcular o limite quando
, usando racionalização para eliminar
as raízes.
as raízes.
Passo 2
Para
o radicando deve ser positivo:
Portanto o domínio de
é
.
Passo 3
Pela definição,
Para simplificar, colocamos sobre um único denominador e depois racionalizamos:
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
:
No numerador
, então
Passo 5
Agora tomamos o limite
. Como
,
Passo 6
A expressão de
exige
e
, o que dá novamente
.
Logo o domínio de é também
.
Logo o domínio de
Resposta
A derivada é
O domínio de
é
e o domínio de
é
.