Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
g(u)=\frac{u+1}{4 u-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
g(u)=\frac{u+1}{4\,u-1}
usando a definição
g'(u)=\lim_{h\to0}\frac{g(u+h)-g(u)}{h},
além de identificar o domínio de g e de g'.

Passo 2

Vamos escrever o quociente de diferença:
\frac{g(u+h)-g(u)}{h} =\frac{\displaystyle\frac{u+1+h}{4(u+h)-1}-\frac{u+1}{4u-1}}{h}.
Para combinar as frações do numerador, colocamos o mesmo denominador (4u+4h-1)(4u-1):
\frac{(u+1+h)(4u-1)-(u+1)(4u+4h-1)}{h\,(4u+4h-1)(4u-1)}.

Passo 3

No numerador, ao expandir e cancelar termos iguais, sobra
(u+1+h)(4u-1)-(u+1)(4u+4h-1) =h\bigl(4u-1\bigr)-4h(u+1)=-5h.
Logo o quociente de diferença é
\frac{-5h}{h\,(4u+4h-1)(4u-1)} =-\frac{5}{(4u+4h-1)(4u-1)}.
Fazendo h\to0, temos
g'(u)=-\frac{5}{(4u-1)^2}.

Passo 4

A função g(u) só existe quando o denominador 4u-1\neq0, ou seja
u\neq\tfrac14.
O mesmo vale para g'(u), pois sua expressão também tem (4u-1)^2 no denominador.

Resposta

Domínio de g: \{u\in\mathbb{R}\mid u\neq\tfrac14\}
Derivada:
g'(u)=-\frac{5}{(4u-1)^2}
Domínio de g': \{u\in\mathbb{R}\mid u\neq\tfrac14\}

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