Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
F(t)=t^{3}-5 t+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de F(t)=t^{3}-5t+1 usando a definição de derivada pelo limite do quociente incremental. Vamos aplicar
F'(t)=\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}
e usar álgebra de polinômios para simplificar.

Passo 2

Escrevendo o quociente incremental, temos
\frac{F(t+h)-F(t)}{h} =\frac{\bigl((t+h)^{3}-5(t+h)+1\bigr)-\bigl(t^{3}-5t+1\bigr)}{h}.

Passo 3

Expandindo o numerador:
(t+h)^{3}=t^{3}+3t^{2}h+3th^{2}+h^{3},\quad -5(t+h)=-5t-5h,
logo os termos t^{3}, -5t e +1 se cancelam, sobrando
\frac{F(t+h)-F(t)}{h} =\frac{h\,(3t^{2}+3th+h^{2}-5)}{h} =3t^{2}+3th+h^{2}-5.

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando h\to0:
F'(t)=\lim_{h\to0}\bigl(3t^{2}+3th+h^{2}-5\bigr) =3t^{2}-5.

Passo 5

Como F é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos reais, isto é \mathbb{R}. A derivada F'(t)=3t^{2}-5 também é um polinômio, logo seu domínio também é \mathbb{R}.

Resposta

F'(t)=3t^{2}-5,
domínio de F: \mathbb{R},
domínio de F': \mathbb{R}.

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