Encontre a derivada da função dada usando a definição da derivada. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
F(v)=\frac{v}{v+2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(v)=\frac{v}{v+2}
e pede para encontrar F'(v) usando a definição
F'(v)=\lim_{h\to0}\frac{F(v+h)-F(v)}{h}.
O domínio de F é todos os v tais que o denominador não zere, ou seja
\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental:
\frac{F(v+h)-F(v)}{h} =\frac{\displaystyle\frac{v+h}{v+h+2}-\frac{v}{v+2}}{h}.

Passo 3

Para simplificar a diferença, colocamos sobre o mesmo denominador:
F(v+h)-F(v) =\frac{(v+h)(v+2)-v(v+h+2)}{(v+h+2)(v+2)} =\frac{2h}{(v+h+2)(v+2)}.
Logo
\frac{F(v+h)-F(v)}{h} =\frac{2h}{h\,(v+h+2)(v+2)} =\frac{2}{(v+h+2)(v+2)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite h\to0:
F'(v) =\lim_{h\to0}\frac{2}{(v+h+2)(v+2)} =\frac{2}{(v+2)^2}.

Passo 5

A expressão de F'(v) só requer que v+2\neq0. Portanto o domínio de F' é também
\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Resposta

O domínio de F é \{v\in\mathbb{R}\mid v\neq-2\}.
A derivada é
F'(v)=\frac{2}{(v+2)^2},
com domínio \{v\in\mathbb{R}\mid v\neq-2\}.

Exercícios relacionados