Derive.
V(t)=\left(t+2 e^{t}\right) \sqrt{t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
V(t)=\bigl(t+2e^{t}\bigr)\sqrt{t}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra do produto e da regra da cadeia (para derivar \sqrt{t}=t^{1/2}).

Passo 2

Definimos as funções
u(t)=t+2e^{t}, \qquad v(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}.
Assim, V(t)=u(t)\,v(t) e usaremos a regra do produto.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t+2e^{t}\bigr)=1+2e^{t},
v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{1/2}\bigr)=\tfrac12\,t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos
V'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =(1+2e^{t})\sqrt{t}+\bigl(t+2e^{t}\bigr)\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 5

Agora simplificamos cada termo:
\bigl(t+2e^{t}\bigr)\frac{1}{2\sqrt{t}} =\frac{t}{2\sqrt{t}}+\frac{2e^{t}}{2\sqrt{t}} =\frac12\sqrt{t}+\frac{e^{t}}{\sqrt{t}}.
Somando com (1+2e^{t})\sqrt{t}=\sqrt{t}+2e^{t}\sqrt{t}, obtemos
V'(t) =\sqrt{t}+2e^{t}\sqrt{t}+\tfrac12\sqrt{t}+\frac{e^{t}}{\sqrt{t}} =\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{(2t+1)e^{t}}{\sqrt{t}}.

Resposta

V'(t)=\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{(2t+1)e^{t}}{\sqrt{t}}.

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