Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
e) f(x) = 5 x^2 + 6 x - 1;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada. Para isso, vamos utilizar os conceitos básicos de cálculo diferencial, especialmente a definição de derivada pela diferença quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular :
Explicando, substituímos por na função original.

Passo 4

Agora, expandimos :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Distribuindo os coeficientes:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 7

Substituímos de volta na definição da derivada:
Podemos fatorar no numerador:
Cancelando :

Passo 8

Finalmente, ao calcular o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é .
Os domínios são:
  • Domínio da função : (todos os números reais).
  • Domínio da derivada : (todos os números reais).

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