Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f) f(x) = 1 / raiz(2 x - 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar o limite da diferença quociente. Além disso, vamos determinar os domínios da função e da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada pela definição. A derivada de no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando tende a zero da diferença entre e , dividida por .

Passo 3

Vamos substituir a função na fórmula da derivada. Nossa função é , então:
Agora, montamos a diferença quociente:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos combinar as frações no numerador:
Então, a diferença quociente fica:

Passo 5

Para facilitar o cálculo do limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos por :
No numerador, aplicamos a identidade :

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Cancelando o no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, vamos tirar o limite quando tende a zero. Quando vai para zero, tende a . Então, substituindo :

Passo 9

Simplificando a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:
O domínio da função e de sua derivada é .

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