Encontre a derivada da função:
f(x)=\frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}},
então vamos usar a regra do quociente para derivar u(x)=e^{2x}-e^{-2x} e v(x)=e^{2x}+e^{-2x}, e depois simplificar usando identidades de exponenciais.

Passo 2

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
Aqui
u'(x)=2e^{2x}+2e^{-2x}, \quad v'(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}.
Logo,
f'(x) =\frac{\bigl(2e^{2x}+2e^{-2x}\bigr)\bigl(e^{2x}+e^{-2x}\bigr) -\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr)\bigl(2e^{2x}-2e^{-2x}\bigr)} {\bigl(e^{2x}+e^{-2x}\bigr)^2}.

Passo 3

No numerador, fatoramos 2:
N =2\Bigl[(e^{2x}+e^{-2x})^2-(e^{2x}-e^{-2x})^2\Bigr].
Como a^2-b^2=(a-b)(a+b), temos
(e^{2x}+e^{-2x})^2-(e^{2x}-e^{-2x})^2 =4\,e^{2x}e^{-2x}=4.
Isso dá N=2\cdot4=8.

Passo 4

Substituindo no quociente:
f'(x) =\frac{8}{\bigl(e^{2x}+e^{-2x}\bigr)^2}.
Opcionalmente, usando e^{2x}+e^{-2x}=2\operatorname{cosh}(2x), fica
f'(x)=\frac{8}{4\operatorname{cosh}^2(2x)}=2\,\sech^2(2x).

Resposta

f'(x)=\frac{8}{\bigl(e^{2x}+e^{-2x}\bigr)^2}.

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