Encontre a derivada da função:
f(x)=\ln \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr).
O conteúdo principal aqui é a derivada do logaritmo e a regra da cadeia. Vamos precisar também de álgebra para simplificar o resultado.

Passo 2

Usamos a propriedade
\ln\!\bigl(\tfrac{A}{B}\bigr)=\ln(A)-\ln(B)
com A=1-\cos x e B=1+\cos x. Assim
f(x)=\ln(1-\cos x)\;-\;\ln(1+\cos x).

Passo 3

Derivando termo a termo e aplicando \bigl(\ln u\bigr)'=u'/u:
  1. Para \ln(1-\cos x), temos u=1-\cos x e u'=\sin x, logo \frac{d}{dx}\ln(1-\cos x) =\frac{\sin x}{1-\cos x}.
  2. Para \ln(1+\cos x), temos v=1+\cos x e v'=-\sin x, logo \frac{d}{dx}\ln(1+\cos x) =\frac{-\sin x}{1+\cos x}.
Como f(x)=\ln(1-\cos x)-\ln(1+\cos x),
f'(x) =\frac{\sin x}{1-\cos x} \;-\;\Bigl(\frac{-\sin x}{1+\cos x}\Bigr) =\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}.

Passo 4

Para somar as frações, colocamos denominador comum:
f'(x) =\sin x\;\frac{(1+\cos x)+(1-\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} =\sin x\;\frac{2}{1-\cos^2 x}.
Como 1-\cos^2 x=\sin^2 x, obtemos
f'(x) =\sin x\;\frac{2}{\sin^2 x} =\frac{2}{\sin x}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{\sin x}.

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