Encontre a derivada da função:
f(x)=e^{\operatorname{sen} 5 x}+\operatorname{sen}\left(e^{5 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\sin(5x)}+\sin\bigl(e^{5x}\bigr).
O conteúdo aqui é regra da cadeia: para derivar uma composição h(g(x)), usamos
\frac{d}{dx}h(g(x))=h'(g(x))\cdot g'(x).

Passo 2

Derivando a primeira parcela e^{\sin(5x)}:
\frac{d}{dx}e^{\sin(5x)} =e^{\sin(5x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\sin(5x)\bigr] =e^{\sin(5x)}\cdot\cos(5x)\cdot5 =5\,e^{\sin(5x)}\cos(5x).

Passo 3

Derivando a segunda parcela \sin\bigl(e^{5x}\bigr):
\frac{d}{dx}\sin\bigl(e^{5x}\bigr) =\cos\bigl(e^{5x}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[e^{5x}\bigr] =\cos\bigl(e^{5x}\bigr)\cdot e^{5x}\cdot5 =5\,e^{5x}\cos\bigl(e^{5x}\bigr).

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x) =5\,e^{\sin(5x)}\cos(5x) +5\,e^{5x}\cos\bigl(e^{5x}\bigr).

Resposta

f'(x)=5\,e^{\sin(5x)}\cos(5x)+5\,e^{5x}\cos\bigl(e^{5x}\bigr).

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