Encontre a derivada da função:
f(x)=\sqrt{x^{5}+5^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x^{5}+5^{x}}\,.
Aqui vamos usar as regras de derivação de funções compostas (regra da cadeia) e a derivada da exponencial de base constante.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como potência para identificar claramente a parte externa e a interna:
f(x) = (x^{5} + 5^{x})^{\tfrac12}.
A parte externa é u^{1/2} e a parte interna é u(x)=x^{5}+5^{x}.

Passo 3

Calculamos a derivada da parte interna u(x):
  • A derivada de x^{5} é 5x^{4}.
  • A derivada de 5^{x} é 5^{x}\ln 5.
    Logo,
u'(x) = 5x^{4} + 5^{x}\ln 5.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = \frac{1}{2}\,(u(x))^{-\tfrac12}\,\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x), temos
f'(x) = \frac{1}{2}\,(x^{5}+5^{x})^{-\tfrac12}\,\bigl(5x^{4}+5^{x}\ln 5\bigr) = \frac{5x^{4}+5^{x}\ln 5}{2\sqrt{x^{5}+5^{x}}}\,.

Resposta

f'(x)=\frac{5x^{4}+5^{x}\ln 5}{2\sqrt{x^{5}+5^{x}}}.

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