Encontre a derivada da função:
f(x)=\left(3 x^{-3}+4 x^{-5}+e\right)^{20}+4 \cdot 5^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(3x^{-3}+4x^{-5}+e\bigr)^{20}+4\cdot5^{-3x}.
Os conteúdos necessários são a regra da cadeia para a função potência composta e a derivada de uma exponencial de base constante.

Passo 2

Vamos definir
u(x)=3x^{-3}+4x^{-5}+e,
de modo que o primeiro termo seja \bigl(u(x)\bigr)^{20}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{20} =20\bigl(u(x)\bigr)^{19}\,u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como
u(x)=3x^{-3}+4x^{-5}+e,
temos
u'(x)=3\cdot(-3)x^{-4}+4\cdot(-5)x^{-6}+0 =-9x^{-4}-20x^{-6}.

Passo 4

Para o segundo termo, note que
4\cdot5^{-3x}=4\exp\bigl(-3x\ln(5)\bigr).
A derivada de \exp\bigl(-3x\ln(5)\bigr) é \exp\bigl(-3x\ln(5)\bigr)\cdot(-3\ln(5)). Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(4\cdot5^{-3x}\bigr) =4\cdot5^{-3x}\cdot(-3\ln(5)) =-12\ln(5)\,5^{-3x}.

Passo 5

Reunindo as partes, a derivada de f(x) é
f'(x) =20\bigl(3x^{-3}+4x^{-5}+e\bigr)^{19}\bigl(-9x^{-4}-20x^{-6}\bigr) -12\ln(5)\,5^{-3x}.

Resposta

f'(x) =20\bigl(3x^{-3}+4x^{-5}+e\bigr)^{19}\bigl(-9x^{-4}-20x^{-6}\bigr) -12\ln(5)\,5^{-3x}.

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