Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
y=\operatorname{arcsen}(\sqrt{\operatorname{sen} x}).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \operatorname{arcsen}\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}x}\bigr).
O tema principal é a regra da cadeia aplicada três vezes: na derivada de \operatorname{arcsen}(u), na derivada de \sqrt{v} e na derivada de \operatorname{sen}x.

Passo 2

Primeiro, use a fórmula
\frac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(u) = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}.
Aqui u = \sqrt{\operatorname{sen}x}, portanto
y' = \frac{\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}x}\bigr)}{\sqrt{\,1 - \bigl(\sqrt{\operatorname{sen}x}\bigr)^2\,}}.

Passo 3

Agora derivamos u = \sqrt{\operatorname{sen}x} = (\operatorname{sen}x)^{1/2}. Pela regra da potência e da cadeia,
\frac{d}{dx}\sqrt{\operatorname{sen}x} = \frac{1}{2}(\operatorname{sen}x)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}x\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}\cdot\cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em y' e lembrando que
\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}x}\bigr)^2 = \operatorname{sen}x,
o denominador fica \sqrt{1-\operatorname{sen}x}. Logo
y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}\,\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}.

Resposta

y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{\operatorname{sen}x}\,\sqrt{1-\operatorname{sen}x}}.

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