Encontre d y / d x por derivação implícita.
x^{2} y^{2}+x \sin y=4.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{2}y^{2} + x\sin y = 4
e pede \dfrac{dy}{dx}.
O conteúdo aqui é derivação implícita, usando regra do produto e regra da cadeia toda vez que aparecer y.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
Para o termo x^{2}y^{2} aplicamos produto entre x^{2} e y^{2}:
\frac{d}{dx}(x^{2}y^{2}) = 2x\,y^{2} + x^{2}\cdot 2y\frac{dy}{dx} = 2x\,y^{2} + 2x^{2}y\,y'.
Para o termo x\sin y também usamos produto e cadeia:
\frac{d}{dx}(x\sin y) = 1\cdot\sin y + x\cdot\cos y\frac{dy}{dx} = \sin y + x\cos y\,y'.
E o lado direito \frac{d}{dx}(4)=0.
Somando tudo:
2x\,y^{2} + 2x^{2}y\,y' + \sin y + x\cos y\,y' = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos com y' de um lado e os demais do outro:
(2x^{2}y + x\cos y)\,y' + (2x\,y^{2} + \sin y) = 0.
Isolando y':
(2x^{2}y + x\cos y)\,y' = -\bigl(2x\,y^{2} + \sin y\bigr),
y' = -\frac{2x\,y^{2} + \sin y}{2x^{2}y + x\cos y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x\,y^{2} + \sin y}{2x^{2}y + x\cos y}.

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