Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
y=(2 x+1)^{5}\left(x^{4}-4\right)^{6}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=(2x+1)^{5}(x^{4}-4)^{6}
usando derivação logarítmica. Vamos aproveitar propriedades de logaritmo para simplificar a diferenciação de um produto de potências.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln(y)=\ln\bigl((2x+1)^{5}(x^{4}-4)^{6}\bigr) =5\,\ln(2x+1)+6\,\ln(x^{4}-4).

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. Como \frac{d}{dx}\ln(y)=\frac{y'}{y}, obtemos
\frac{y'}{y} =5\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(2x+1)\bigr] +6\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{4}-4)\bigr] =5\cdot\frac{2}{2x+1}+6\cdot\frac{4x^{3}}{x^{4}-4},
ou seja
\frac{y'}{y} =\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^{4}-4}.

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' =y\Bigl(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^{4}-4}\Bigr) =(2x+1)^{5}(x^{4}-4)^{6}\Bigl(\frac{10}{2x+1}+\frac{24x^{3}}{x^{4}-4}\Bigr).
Para simplificar, fatoramos um (2x+1)^{4}(x^{4}-4)^{5}:
y' =(2x+1)^{4}(x^{4}-4)^{5}\bigl[10(x^{4}-4)+24x^{3}(2x+1)\bigr].
Dentro do colchete temos
10x^{4}-40+48x^{4}+24x^{3} =58x^{4}+24x^{3}-40 =2\bigl(29x^{4}+12x^{3}-20\bigr).

Resposta

y' =2\,(2x+1)^{4}(x^{4}-4)^{5}\bigl(29x^{4}+12x^{3}-20\bigr).

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