Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
h(x)=(\operatorname{arcsen} x) \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(x)=(\operatorname{arcsen} x)\,\ln x.
Informações e restrições que o enunciado dá:
  • A função é o produto de \operatorname{arcsen} x e \ln x.
  • O domínio natural da expressão é a interseção dos domínios de \operatorname{arcsen} x (que é [-1,1]) e de \ln x (que é (0,\infty)). Portanto o domínio de h é (0,1].
  • A derivada só poderá existir nos pontos do domínio onde ambas as funções envolvidas são diferenciáveis. Em especial, a derivada de \operatorname{arcsen} x tem problema em x=\pm1 (pois aparece uma raiz no denominador), então a derivada de h será considerada em 0<x<1.

Passo 2

Escolhemos trabalhar passo a passo usando a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz o seguinte: se f e g são funções diferenciáveis, a derivada de f(x)g(x) é
(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Aqui vamos identificar
f(x)=\operatorname{arcsen} x,\qquad g(x)=\ln x.
Agora precisamos das derivadas de f e g. Vou explicar e justificar cada fórmula que vou usar.

Passo 3

Derivada de \operatorname{arcsen} x. Seja y=\operatorname{arcsen} x. Por definição isso significa \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (diferença implícita), obtemos
\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Mas como \sin y = x, então \cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2} (tomando o sinal positivo para y no ramo principal de \operatorname{arcsen}). Logo
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen} x\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad\text{para }-1<x<1.
Derivada de \ln x. Esta é uma fórmula básica:
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},\qquad\text{para }x>0.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto com f e g definidos acima. Usando os resultados do passo anterior:
h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \ln x + \operatorname{arcsen} x\cdot\frac{1}{x}.
Essa já é uma forma correta da derivada. Vamos simplificar e colocar em uma única fração para ficar mais elegante.

Passo 5

Colocando os dois termos sobre o mesmo denominador x\sqrt{1-x^2}:
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \ln x = \frac{x\ln x}{x\sqrt{1-x^2}},
\operatorname{arcsen} x\cdot\frac{1}{x} = \frac{\operatorname{arcsen} x\;\sqrt{1-x^2}}{x\sqrt{1-x^2}}.
Somando os numeradores obtemos a expressão simplificada
h'(x)=\frac{x\ln x + \operatorname{arcsen} x\;\sqrt{1-x^2}}{x\sqrt{1-x^2}}.
Esta fórmula vale para 0<x<1 (intervalo onde ambas as derivadas usadas são válidas e finitas).

Resposta

h'(x)=\frac{x\ln x + \operatorname{arcsen} x\;\sqrt{1-x^2}}{x\sqrt{1-x^2}}

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