Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações e restrições que o enunciado dá:
- A função é o produto de
e . - O domínio natural da expressão é a interseção dos domínios de
(que é ) e de (que é ). Portanto o domínio de é . - A derivada só poderá existir nos pontos do domínio onde ambas as funções envolvidas são diferenciáveis. Em especial, a derivada de
tem problema em (pois aparece uma raiz no denominador), então a derivada de será considerada em .
Passo 2
Escolhemos trabalhar passo a passo usando a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz o seguinte: se
e
são funções diferenciáveis, a derivada de
é
Aqui vamos identificar
Agora precisamos das derivadas de
e
. Vou explicar e justificar cada fórmula que vou usar.
Passo 3
Derivada de
. Seja
. Por definição isso significa
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(diferença implícita), obtemos
Assim
Mas como
, então
(tomando o sinal positivo para
no ramo principal de
). Logo
Derivada de
. Esta é uma fórmula básica:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto com
e
definidos acima. Usando os resultados do passo anterior:
Essa já é uma forma correta da derivada. Vamos simplificar e colocar em uma única fração para ficar mais elegante.
Passo 5
Colocando os dois termos sobre o mesmo denominador
:
Somando os numeradores obtemos a expressão simplificada
Esta fórmula vale para
(intervalo onde ambas as derivadas usadas são válidas e finitas).