Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
y=\cos ^{-1}\left(\operatorname{sen}^{-1} t\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\cos^{-1}\!\big(\operatorname{sen}^{-1} t\big).
Em notação usual em LaTeX vou escrever isso como
y=\operatorname{arccos}\!\big(\arcsin t\big).
O que o problema pede: encontrar a derivada y'=\dfrac{dy}{dt} e simplificá-la quando possível.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função interna é \arcsin t, que está definida para t\in[-1,1].
  • A função externa é \operatorname{arccos}(u), que exige que o argumento u satisfaça u\in[-1,1].
  • Portanto, para que a composição esteja definida, é necessário que \arcsin t\in[-1,1]. Como a função \arcsin é estritamente crescente, essa condição equivale a t\in[-\sin 1,\;\sin 1] (onde 1 está em radianos).
Não vou resolver nada ainda aqui; só identifiquei o que é pedido e as informações que temos.

Passo 2

Vou aplicar a regra da cadeia, que é a ferramenta para derivar composições. A regra da cadeia diz:
Se y=f(g(t)), então
y' = f'\big(g(t)\big)\cdot g'(t).
Explicando em palavras: primeiro derivamos a função externa f em relação ao seu argumento, avaliamos essa derivada no argumento g(t), e em seguida multiplicamos pelo derivado da função interna g em relação a t.
No nosso caso, f(u)=\operatorname{arccos}(u) e g(t)=\arcsin t. Vou então calcular f'(u) e g'(t) separadamente.

Passo 3

Derivada da parte externa f(u)=\operatorname{arccos}(u).
Fórmula conhecida (e que podemos derivar por implicitamente): para u\in(-1,1),
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos} u\big) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Significado das variáveis: u é o argumento de \operatorname{arccos}. A raiz \sqrt{1-u^2} aparece porque a derivada da função trigonométrica inversa relaciona-se à identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Breve justificativa (sem pular etapas): se y=\operatorname{arccos} u então \cos y = u. Diferenciando ambos os lados em relação a u:
-\sin y \cdot \frac{dy}{du} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sin y}.
Como \sin y=\sqrt{1-\cos^{2}y}=\sqrt{1-u^{2}} (tomando a raiz positiva porque \sin y\ge 0 quando y\in[0,\pi], intervalo imagem usual de \operatorname{arccos}), obtemos a fórmula acima.

Passo 4

Derivada da parte interna g(t)=\arcsin t.
Fórmula conhecida: para t\in(-1,1),
\frac{d}{dt}\big(\arcsin t\big)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Justificativa via diferenciação implícita (passo a passo): seja y=\arcsin t. Então \sin y = t. Diferenciando em relação a t:
\cos y\cdot \frac{dy}{dt} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{\cos y}.
Usando \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-t^{2}} obtemos a fórmula desejada. Novamente usamos a raiz positiva porque \cos y\ge 0 para y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], imagem usual de \arcsin.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia com os dois resultados obtidos.
Pela regra da cadeia:
y' = \frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos} u\big)\Big|_{u=\arcsin t}\cdot \frac{d}{dt}\big(\arcsin t\big).
Substituindo as fórmulas:
y' = \left(-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\right)\Bigg|_{u=\arcsin t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Ou seja,
y' = -\frac{1}{\sqrt{1-(\arcsin t)^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}.

Passo 6

Simplificação final: juntar as raízes num único radical produto é conveniente. Podemos escrever
y' = -\frac{1}{\sqrt{\,\big(1-(\arcsin t)^{2}\big)\big(1-t^{2}\big)\,}}.
Isso já é uma forma simplificada e clara. Não existe uma simplificação algébrica elementar que transforme 1-(\arcsin t)^{2} em função simples de t sem manter a \arcsin, portanto esta é uma forma adequada e reduzida.
Também é importante mencionar o domínio onde essa derivada faz sentido:
  • É preciso t\in(-1,1) para evitar divisão por zero em \sqrt{1-t^{2}}.
  • É preciso |\arcsin t|<1 para evitar divisão por zero em \sqrt{1-(\arcsin t)^{2}}; isto é equivalente a t\in(-\sin 1,\sin 1).
    Portanto a derivada existe para t\in(-\sin 1,\sin 1) (interseção com (-1,1) é simplesmente (-\sin 1,\sin 1) já que \sin 1<1).

Resposta

y'=-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}\;\sqrt{1-(\arcsin t)^{2}}}

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