Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível. y=\cos ^{-1}\left(\operatorname{sen}^{-1} t\right)
Passo 1
O enunciado dá a função
y=\cos^{-1}\!\big(\operatorname{sen}^{-1} t\big).
Em notação usual em LaTeX vou escrever isso como
y=\operatorname{arccos}\!\big(\arcsin t\big).
O que o problema pede: encontrar a derivada y'=\dfrac{dy}{dt} e simplificá-la quando possível.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função interna é \arcsin t, que está definida para t\in[-1,1].
A função externa é \operatorname{arccos}(u), que exige que o argumento u satisfaça u\in[-1,1].
Portanto, para que a composição esteja definida, é necessário que \arcsin t\in[-1,1]. Como a função \arcsin é estritamente crescente, essa condição equivale a t\in[-\sin 1,\;\sin 1] (onde 1 está em radianos).
Não vou resolver nada ainda aqui; só identifiquei o que é pedido e as informações que temos.
Passo 2
Vou aplicar a regra da cadeia, que é a ferramenta para derivar composições. A regra da cadeia diz:
Se y=f(g(t)), então
y' = f'\big(g(t)\big)\cdot g'(t).
Explicando em palavras: primeiro derivamos a função externa f em relação ao seu argumento, avaliamos essa derivada no argumento g(t), e em seguida multiplicamos pelo derivado da função interna g em relação a t.
No nosso caso, f(u)=\operatorname{arccos}(u) e g(t)=\arcsin t. Vou então calcular f'(u) e g'(t) separadamente.
Passo 3
Derivada da parte externa f(u)=\operatorname{arccos}(u).
Fórmula conhecida (e que podemos derivar por implicitamente): para u\in(-1,1),
Significado das variáveis: u é o argumento de \operatorname{arccos}. A raiz \sqrt{1-u^2} aparece porque a derivada da função trigonométrica inversa relaciona-se à identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Breve justificativa (sem pular etapas): se y=\operatorname{arccos} u então \cos y = u. Diferenciando ambos os lados em relação a u:
Como \sin y=\sqrt{1-\cos^{2}y}=\sqrt{1-u^{2}} (tomando a raiz positiva porque \sin y\ge 0 quando y\in[0,\pi], intervalo imagem usual de \operatorname{arccos}), obtemos a fórmula acima.
Usando \cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-t^{2}} obtemos a fórmula desejada. Novamente usamos a raiz positiva porque \cos y\ge 0 para y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], imagem usual de \arcsin.
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia com os dois resultados obtidos.
Isso já é uma forma simplificada e clara. Não existe uma simplificação algébrica elementar que transforme 1-(\arcsin t)^{2} em função simples de t sem manter a \arcsin, portanto esta é uma forma adequada e reduzida.
Também é importante mencionar o domínio onde essa derivada faz sentido:
É preciso t\in(-1,1) para evitar divisão por zero em \sqrt{1-t^{2}}.
É preciso |\arcsin t|<1 para evitar divisão por zero em \sqrt{1-(\arcsin t)^{2}}; isto é equivalente a t\in(-\sin 1,\sin 1).
Portanto a derivada existe para t\in(-\sin 1,\sin 1) (interseção com (-1,1) é simplesmente (-\sin 1,\sin 1) já que \sin 1<1).