Calcule \int_{S} F(x) \cdot n(x) d s, onde F(x)=\frac{1}{2} x_{1}^{2} i, sendo S a superfície abaixo: (4 c)(0,5 pontos ) S é o triângulo de vértices (0,0,0),(6,0,0),(0,0,2).
Passo 1
O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{S} F(x)\cdot n(x)\,d s, onde:
F(x)=\tfrac{1}{2}x_{1}^{2}\,i. Ou seja, para um ponto x=(x_{1},x_{2},x_{3}) tem-se F(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}x_{1}^{2},0,0\bigr).
S é o triângulo com vértices (0,0,0), (6,0,0) e (0,0,2). (Peguei esses vértices do enunciado.)
A tarefa é calcular o fluxo do campo F através da superfície S: \displaystyle \int_{S} F\cdot n\,dS, onde n é o versor normal à superfície.
Passo 2
Lembrete (definição e ideia física): o integrando F\cdot n é o produto escalar entre o campo F e o vetor normal unitário n. O produto escalar mede a componente de F na direção normal; portanto a integral de superfície calcula quanto do campo “penetra” a superfície. Se em todo ponto da superfície o campo for ortogonal ao normal (ou seja, paralelo à superfície), então F\cdot n=0 e o fluxo será zero.
Passo 3
Observar a superfície S: todos os vértices têm segunda coordenada 0, isto é, (0,0,0), (6,0,0) e (0,0,2). Logo S está contida no plano \{x_2=0\} (o plano y=0). Portanto qualquer vetor normal a esse plano tem a forma (0,\pm 1,0) (múltiplos do vetor unitário \,j).
Passo 4
Para ser totalmente rigoroso, posso obter um normal não unitário calculando o produto vetorial de dois vetores do plano dados pelos lados do triângulo:
(Se escolher o outro sentido, o normal unitário seria (0,1,0); a escolha de sinal não altera a conclusão a seguir porque o produto será zero de qualquer forma.)]
Passo 5
Calcular o produto escalar em um ponto genérico x\in S. Temos F(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}x_{1}^{2},0,0\bigr) e n=(0,\pm1,0). Assim
Ou seja, em todo ponto de S o produto escalar vale 0, então o integrando é identicamente zero sobre a superfície.
Passo 6
Conclusão prática: como o integrando é zero em todo S, a integral de superfície é zero. Intuição: o campo F aponta na direção x (paralela ao plano do triângulo), portanto não atravessa o triângulo; não há fluxo atravessando S.