Calcule \int_{S} F(x) \cdot n(x) d s, onde F(x)=\frac{1}{2} x_{1}^{2} i, sendo S a superfície abaixo:
(4 c)(0,5 pontos ) S é o triângulo de vértices (0,0,0),(6,0,0),(0,0,2).

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int_{S} F(x)\cdot n(x)\,d s, onde:
  • F(x)=\tfrac{1}{2}x_{1}^{2}\,i. Ou seja, para um ponto x=(x_{1},x_{2},x_{3}) tem-se F(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}x_{1}^{2},0,0\bigr).
  • S é o triângulo com vértices (0,0,0), (6,0,0) e (0,0,2). (Peguei esses vértices do enunciado.)
    A tarefa é calcular o fluxo do campo F através da superfície S: \displaystyle \int_{S} F\cdot n\,dS, onde n é o versor normal à superfície.

Passo 2

Lembrete (definição e ideia física): o integrando F\cdot n é o produto escalar entre o campo F e o vetor normal unitário n. O produto escalar mede a componente de F na direção normal; portanto a integral de superfície calcula quanto do campo “penetra” a superfície. Se em todo ponto da superfície o campo for ortogonal ao normal (ou seja, paralelo à superfície), então F\cdot n=0 e o fluxo será zero.

Passo 3

Observar a superfície S: todos os vértices têm segunda coordenada 0, isto é, (0,0,0), (6,0,0) e (0,0,2). Logo S está contida no plano \{x_2=0\} (o plano y=0). Portanto qualquer vetor normal a esse plano tem a forma (0,\pm 1,0) (múltiplos do vetor unitário \,j).

Passo 4

Para ser totalmente rigoroso, posso obter um normal não unitário calculando o produto vetorial de dois vetores do plano dados pelos lados do triângulo:
a=(6,0,0)-(0,0,0)=(6,0,0),\qquad b=(0,0,2)-(0,0,0)=(0,0,2).
O produto vetorial é
a\times b = \begin{vmatrix} i & j & k\\[2pt] 6 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (0,-12,0).
Normalizando:
n=\frac{a\times b}{\|a\times b\|}=\frac{(0,-12,0)}{12}=(0,-1,0).
(Se escolher o outro sentido, o normal unitário seria (0,1,0); a escolha de sinal não altera a conclusão a seguir porque o produto será zero de qualquer forma.)]

Passo 5

Calcular o produto escalar em um ponto genérico x\in S. Temos F(x)=\bigl(\tfrac{1}{2}x_{1}^{2},0,0\bigr) e n=(0,\pm1,0). Assim
F(x)\cdot n = \tfrac{1}{2}x_{1}^{2}\cdot 0 + 0\cdot(\pm1) + 0\cdot 0 = 0.
Ou seja, em todo ponto de S o produto escalar vale 0, então o integrando é identicamente zero sobre a superfície.

Passo 6

Conclusão prática: como o integrando é zero em todo S, a integral de superfície é zero. Intuição: o campo F aponta na direção x (paralela ao plano do triângulo), portanto não atravessa o triângulo; não há fluxo atravessando S.

Resposta

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