Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada usando a definição de derivada (ou seja, pelo quociente de diferença e limite) e (2) determinar o domínio da função e o domínio da derivada.
Informações explícitas do enunciado: a expressão da função é .
Perguntas a responder: calcular por definição e indicar o domínio de
e o domínio de
.
Informações explícitas do enunciado: a expressão da função é
Perguntas a responder: calcular
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função
. A função tem o termo
. Esse termo só está definido quando o denominador é diferente de zero. Portanto não podemos ter
. Escrevendo isso em linguagem de intervalo:
É importante porque, para usar a definição de derivada em um ponto
, a função precisa estar definida em pontos próximos de
; assim só podemos buscar
para
em
.
Passo 3
Vamos lembrar a definição de derivada num ponto
. Se
é uma função, sua derivada em
é o limite
quando esse limite existir. Aqui
é um pequeno incremento em
; a fração
é o quociente de diferença, que mede a variação média de
em torno de
. Nosso objetivo é aplicar essa definição com
.
Passo 4
Calculemos
e o numerador do quociente de diferença:
Então
Simplificando termos parecidos (os
se cancelam):
Passo 5
Agora vamos manipular a parte
. Colocando em único denominador:
Substituindo isso em
obtemos
Fatorando
:
Passo 6
Formamos o quociente de diferença dividindo por
(aqui assumimos
, que é o caso ao calcular o limite):
Agora tomamos o limite quando
. Como
está no domínio da função,
, e a função racional
é contínua em
para
próximo de
, podemos substituir
no fator
:
Passo 7
Conclusão da derivação: para todo
em que a função está definida (ou seja,
), a derivada obtida pela definição é
Uma checagem rápida usando regras usuais (derivada de
é
; derivada de
é
) dá o mesmo resultado
, então a conta via definição está consistente.
Passo 8
Dominío da derivada: a expressão
só está definida quando
. Além disso, não podemos ter derivada em pontos onde a função original não está definida. Portanto o domínio da derivada é o mesmo domínio da função: