Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
y=x+\frac{1}{x};

Passo 1

O enunciado dá a função y=x+\frac{1}{x} e pede duas coisas: (1) encontrar a derivada usando a definição de derivada (ou seja, pelo quociente de diferença e limite) e (2) determinar o domínio da função e o domínio da derivada.
Informações explícitas do enunciado: a expressão da função é y=x+\frac{1}{x}.
Perguntas a responder: calcular y' por definição e indicar o domínio de y e o domínio de y'.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função y. A função tem o termo \frac{1}{x}. Esse termo só está definido quando o denominador é diferente de zero. Portanto não podemos ter x=0. Escrevendo isso em linguagem de intervalo:
\text{Dom}(y)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
É importante porque, para usar a definição de derivada em um ponto x, a função precisa estar definida em pontos próximos de x; assim só podemos buscar y' para x em \text{Dom}(y).

Passo 3

Vamos lembrar a definição de derivada num ponto x. Se f é uma função, sua derivada em x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existir. Aqui h é um pequeno incremento em x; a fração \frac{f(x+h)-f(x)}{h} é o quociente de diferença, que mede a variação média de f em torno de x. Nosso objetivo é aplicar essa definição com f(x)=x+\frac{1}{x}.

Passo 4

Calculemos f(x+h) e o numerador do quociente de diferença:
f(x+h)= (x+h)+\frac{1}{x+h}.
Então
f(x+h)-f(x)=\big((x+h)+\frac{1}{x+h}\big)-\big(x+\frac{1}{x}\big).
Simplificando termos parecidos (os x se cancelam):
f(x+h)-f(x)=h+\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}.

Passo 5

Agora vamos manipular a parte \frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}. Colocando em único denominador:
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-h}{x(x+h)}.
Substituindo isso em f(x+h)-f(x) obtemos
f(x+h)-f(x)=h-\frac{h}{x(x+h)}.
Fatorando h:
f(x+h)-f(x)=h\left(1-\frac{1}{x(x+h)}\right).

Passo 6

Formamos o quociente de diferença dividindo por h (aqui assumimos h\neq 0, que é o caso ao calcular o limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=1-\frac{1}{x(x+h)}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0. Como x está no domínio da função, x\neq 0, e a função racional \frac{1}{x(x+h)} é contínua em h para h próximo de 0, podemos substituir h=0 no fator x(x+h):
f'(x)=\lim_{h\to 0}\left(1-\frac{1}{x(x+h)}\right)=1-\frac{1}{x\cdot x}=1-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 7

Conclusão da derivação: para todo x em que a função está definida (ou seja, x\neq 0), a derivada obtida pela definição é
y'=1-\frac{1}{x^{2}}.
Uma checagem rápida usando regras usuais (derivada de x é 1; derivada de x^{-1} é -x^{-2}) dá o mesmo resultado 1-1/x^{2}, então a conta via definição está consistente.

Passo 8

Dominío da derivada: a expressão 1-\frac{1}{x^{2}} só está definida quando x\neq 0. Além disso, não podemos ter derivada em pontos onde a função original não está definida. Portanto o domínio da derivada é o mesmo domínio da função:
\text{Dom}(y')=(-\infty,0)\cup(0,\infty).

Resposta

y'=1-\dfrac{1}{x^{2}}
\text{Dom}(y)=(-\infty,0)\cup(0,\infty)
\text{Dom}(y')=(-\infty,0)\cup(0,\infty)

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