[3pt] Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x^{10}-10 x+100}

Passo 1

O enunciado dá a função
f:[0,2]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{1}{x^{10}-10x+100},
e pede os máximos e mínimos absolutos de f no intervalo fechado [0,2].
Informações relevantes fornecidas:
\text{Domínio considerado: }[0,2].í
\text{Função escrita como }f(x)=\frac{1}{g(x)}\text{ com }g(x)=x^{10}-10x+100.çã
O que devemos encontrar: pontos (no intervalo [0,2]) onde f atinge seu maior valor absoluto (máximo absoluto) e seu menor valor absoluto (mínimo absoluto), e os respectivos valores de f.

Passo 2

Verificar se a função é bem definida e contínua em [0,2] (precisamos garantir que o denominador nunca é zero nesse intervalo).
Considere g(x)=x^{10}-10x+100. Para x\in[0,2] temos x^{10}\ge 0 e -10x\ge -20, então
g(x)=x^{10}-10x+100 \ge 0-10\cdot 2+100 = 80.
Logo g(x)\ge 80>0 em todo [0,2]. Portanto o denominador nunca se anula no intervalo e f é contínua em [0,2]. Isso também garante que f é diferenciável em (0,2).

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) para encontrar pontos críticos. Vou usar a regra da cadeia/recíproco: se f(x)=1/g(x) então
f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2}.
Agora calcule g'(x). Como g(x)=x^{10}-10x+100,
g'(x)=10x^9-10.
Portanto
f'(x) = -\frac{10x^9-10}{\bigl(x^{10}-10x+100\bigr)^2}.
Explanação curta: a derivada de 1/u é -u'/u^2; aqui u=g(x) e u'=g'(x).

Passo 4

Determinar os pontos críticos em [0,2]: são pontos onde f'(x)=0 ou f' não está definida. Já vimos que o denominador g(x)^2>0 em [0,2], então f' só se anula quando o numerador 10x^9-10=0.
Resolver
10x^9-10=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^9=1.
Na reta real, a solução é x=1. Assim o único ponto crítico em [0,2] é x=1. Não há pontos onde f' não esteja definida no intervalo.

Passo 5

Fazer o teste do sinal de f' (teste da primeira derivada) para identificar se x=1 é máximo ou mínimo e para localizar monotonia:
Observe o sinal de g'(x)=10x^9-10=10(x^9-1).
  • Para 0\le x<1 temos x^9<1, logo g'(x)<0. Então o numerador 10x^9-10 é negativo; como f'(x)=-\dfrac{10x^9-10}{g(x)^2}, temos f'(x)=- (\text{negativo})/(\text{positivo})>0. Portanto f é crescente em [0,1).
  • Para 1<x\le 2 temos x^9>1, logo g'(x)>0 e assim f'(x)=- (\text{positivo})/(\text{positivo})<0. Portanto f é decrescente em (1,2].
Conclusão pelo teste da primeira derivada: f aumenta até x=1 e depois diminui; assim x=1 é um ponto de máximo local. Como o intervalo é fechado e f contínua, esse máximo local será também máximo absoluto (contanto que comparemos com valores nos extremos).

Passo 6

Avaliar f nos candidatos a extremos: pontos críticos e extremos do intervalo. Os candidatos são x=0, x=1 e x=2.
Calcule g e f nesses pontos:
Para x=0:
g(0)=0^{10}-10\cdot 0+100=100,\qquad f(0)=\frac{1}{100}.
Para x=1:
g(1)=1^{10}-10\cdot 1+100=1-10+100=91,\qquad f(1)=\frac{1}{91}.
Para x=2:
g(2)=2^{10}-10\cdot 2+100=1024-20+100=1104,\qquad f(2)=\frac{1}{1104}.
Compare os valores (maiores frações correspondem a valores maiores já que denominadores positivos):
\frac{1}{1104} < \frac{1}{100} < \frac{1}{91}.
Ou numericamente: f(2)\approx 0{,}0009058, f(0)=0{,}01, f(1)\approx 0{,}010989.

Passo 7

Concluir quais são máximo e mínimo absolutos:
  • O maior valor entre os candidatos é f(1)=\dfrac{1}{91}, atingido em x=1. Como f cresce até 1 e decresce depois, x=1 é máximo absoluto em [0,2].
  • O menor valor entre os candidatos é f(2)=\dfrac{1}{1104}, atingido em x=2. Assim x=2 é mínimo absoluto em [0,2].
Também observei f(0)=\dfrac{1}{100} apenas para comparação; ele não é extremo absoluto.

Resposta

Máximo absoluto: \displaystyle f(1)=\frac{1}{91} em x=1.
Mínimo absoluto: \displaystyle f(2)=\frac{1}{1104} em x=2.

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