[3pt] Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os máximos e mínimos absolutos de
no intervalo fechado
.
Informações relevantes fornecidas:
O que devemos encontrar: pontos (no intervalo
) onde
atinge seu maior valor absoluto (máximo absoluto) e seu menor valor absoluto (mínimo absoluto), e os respectivos valores de
.
Passo 2
Verificar se a função é bem definida e contínua em
(precisamos garantir que o denominador nunca é zero nesse intervalo).
Considere
. Para
temos
e
, então
Logo
em todo
. Portanto o denominador nunca se anula no intervalo e
é contínua em
. Isso também garante que
é diferenciável em
.
Passo 3
Calcular a derivada
para encontrar pontos críticos. Vou usar a regra da cadeia/recíproco: se
então
Agora calcule
. Como
,
Portanto
Explanação curta: a derivada de
é
; aqui
e
.
Passo 4
Determinar os pontos críticos em
: são pontos onde
ou
não está definida. Já vimos que o denominador
em
, então
só se anula quando o numerador
.
Resolver
Na reta real, a solução é
. Assim o único ponto crítico em
é
. Não há pontos onde
não esteja definida no intervalo.
Passo 5
Fazer o teste do sinal de
(teste da primeira derivada) para identificar se
é máximo ou mínimo e para localizar monotonia:
Observe o sinal de
.
- Para
temos , logo . Então o numerador é negativo; como , temos . Portanto é crescente em . - Para
temos , logo e assim . Portanto é decrescente em .
Conclusão pelo teste da primeira derivada:
aumenta até
e depois diminui; assim
é um ponto de máximo local. Como o intervalo é fechado e
contínua, esse máximo local será também máximo absoluto (contanto que comparemos com valores nos extremos).
Passo 6
Avaliar
nos candidatos a extremos: pontos críticos e extremos do intervalo. Os candidatos são
,
e
.
Calcule
e
nesses pontos:
Para
:
Para
:
Para
:
Compare os valores (maiores frações correspondem a valores maiores já que denominadores positivos):
Ou numericamente:
,
,
.
Passo 7
Concluir quais são máximo e mínimo absolutos:
- O maior valor entre os candidatos é
, atingido em . Como cresce até e decresce depois, é máximo absoluto em . - O menor valor entre os candidatos é
, atingido em . Assim é mínimo absoluto em .
Também observei
apenas para comparação; ele não é extremo absoluto.
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto:
em
.