Calcule a derivada das seguintes funções:
f(\theta)=\frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(\theta)=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}
e pede que a gente calcule a derivada f'(\theta). Informações relevantes que temos:
  • A variável é \theta.
  • A função está escrita como uma razão: numerador \operatorname{sen}\theta e denominador \theta.
  • A função não está definida em \theta=0 (porque há divisão por \theta), portanto o resultado que encontrarmos vale para \theta\neq0.

Passo 2

Vamos transformar a função numa forma que facilita usar regras de derivação: escrevemos a divisão como produto com potência negativa. Isto é uma técnica muito útil na prova porque converte uma razão em produto, e produto a gente sabe derivar com a regra do produto. Escrevemos
f(\theta)=\operatorname{sen}\theta\cdot\theta^{-1}.
Agora preciso lembrar e explicar a regra do produto: se temos duas funções u(\theta) e v(\theta), a derivada do produto é
\frac{d}{d\theta}\big(u(\theta)\,v(\theta)\big)=u'(\theta)\,v(\theta)+u(\theta)\,v'(\theta).
Isto significa: derivamos uma (mantendo a outra) e somamos à derivada da outra (mantendo a primeira). É uma regra básica e fácil de decorar para usar na prova.
Também preciso usar duas regras simples:
  1. Derivada da função seno: \displaystyle\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}\theta\big)=\operatorname{cos}\theta. Aqui \operatorname{cos}\theta é a função cosseno.
  2. Regra da potência: se g(\theta)=\theta^{n} com n real, então \displaystyle g'(\theta)=n\theta^{n-1}. Podemos aplicar isso com n=-1 para obter a derivada de \theta^{-1}.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(\theta)=\operatorname{sen}\theta,\qquad v(\theta)=\theta^{-1}.
Calculamos as derivadas de cada uma:
  • Pela regra do seno,
u'(\theta)=\operatorname{cos}\theta.
  • Pela regra da potência com n=-1,
v'(\theta)=(-1)\theta^{-2}=-\theta^{-2}.
Aqui \theta^{-2} equivale a \dfrac{1}{\theta^{2}}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(\theta)=u'(\theta)\,v(\theta)+u(\theta)\,v'(\theta).
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(\theta)=\operatorname{cos}\theta\cdot\theta^{-1}+\operatorname{sen}\theta\cdot(-\theta^{-2}).
Agora escrevemos isso de forma mais clara, trocando as potências por frações:
f'(\theta)=\frac{\operatorname{cos}\theta}{\theta}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.

Passo 5

Podemos deixar a expressão numa única fração comum para simplificar o visual (isso é útil na prova para comparar termos). Colocando sobre o mesmo denominador \theta^{2}:
f'(\theta)=\frac{\theta\operatorname{cos}\theta-\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.
Esta forma é equivalente à anterior, só que reúne tudo num único numerador. Lembre-se: esta expressão só vale para \theta\neq0, já que o original não está definido em \theta=0.

Passo 6

Comentário final e incentivo: o passo-chave aqui foi transformar a divisão em produto com \theta^{-1} e aplicar a regra do produto juntos com a regra da potência e a derivada do seno. Na prova, se você lembrar dessas três coisas (derivada do seno, regra do produto, regra da potência), resolve esse tipo de questão rápido — dá pra fazer em 1 minuto quando está treinado. Força, você consegue!

Resposta

f'(\theta)=\frac{\theta\operatorname{cos}\theta-\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}},\qquad \theta\neq0

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