Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente calcule a derivada
. Informações relevantes que temos:
- A variável é
. - A função está escrita como uma razão: numerador
e denominador . - A função não está definida em
(porque há divisão por ), portanto o resultado que encontrarmos vale para .
Passo 2
Vamos transformar a função numa forma que facilita usar regras de derivação: escrevemos a divisão como produto com potência negativa. Isto é uma técnica muito útil na prova porque converte uma razão em produto, e produto a gente sabe derivar com a regra do produto. Escrevemos
Agora preciso lembrar e explicar a regra do produto: se temos duas funções
e
, a derivada do produto é
Isto significa: derivamos uma (mantendo a outra) e somamos à derivada da outra (mantendo a primeira). É uma regra básica e fácil de decorar para usar na prova.
Também preciso usar duas regras simples:
- Derivada da função seno:
Aqui é a função cosseno. - Regra da potência: se
com real, então . Podemos aplicar isso com para obter a derivada de .
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Calculamos as derivadas de cada uma:
- Pela regra do seno,
- Pela regra da potência com
,
Aqui
equivale a
.
Passo 4
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Agora escrevemos isso de forma mais clara, trocando as potências por frações:
Passo 5
Podemos deixar a expressão numa única fração comum para simplificar o visual (isso é útil na prova para comparar termos). Colocando sobre o mesmo denominador
:
Esta forma é equivalente à anterior, só que reúne tudo num único numerador. Lembre-se: esta expressão só vale para
, já que o original não está definido em
.
Passo 6
Comentário final e incentivo: o passo-chave aqui foi transformar a divisão em produto com
e aplicar a regra do produto juntos com a regra da potência e a derivada do seno. Na prova, se você lembrar dessas três coisas (derivada do seno, regra do produto, regra da potência), resolve esse tipo de questão rápido — dá pra fazer em 1 minuto quando está treinado. Força, você consegue!