Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
y=2 x^{2}-1;

Passo 1

Dado: y=2x^{2}-1.\n\nPedidos:\n1) Encontrar a derivada de y usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).\n2) Determinar o domínio da função y.\n3) Determinar o domínio da derivada encontrada.

Passo 2

Escrevendo a definição de derivada no ponto x:\n y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.\nExplicando as variáveis: x é o ponto onde queremos a derivada e h é um incremento pequeno (vai para zero). A expressão dentro do limite é o coeficiente angular da secante entre x e x+h; o limite dá a inclinação da tangente.

Passo 3

Calcule y(x+h). Primeiro expandimos (x+h)^{2}:\n (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.\nMultiplicando por 2 e subtraindo 1 obtemos:\n y(x+h)=2(x+h)^{2}-1=2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-1=2x^{2}+4xh+2h^{2}-1.

Passo 4

Forme a diferença y(x+h)-y(x). Sabendo que y(x)=2x^{2}-1, temos:\n y(x+h)-y(x)=\bigl(2x^{2}+4xh+2h^{2}-1\bigr)-\bigl(2x^{2}-1\bigr)=4xh+2h^{2}.

Passo 5

Monte o quociente incremental e simplifique dividindo por h:\n \frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{4xh+2h^{2}}{h}=4x+2h,\nonde fizemos a fatoração e cancelamos um fator h (válido para h\neq 0, que é o caso dentro do limite).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0:\n y'(x)=\lim_{h\to 0}(4x+2h)=4x+2\cdot 0=4x.\nPortanto a derivada, obtida pela definição, é a função y'(x)=4x. Isso faz sentido também por uma checagem rápida: pelo “regra do poder”, \frac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot 2x=4x, e a constante -1 some.

Passo 7

Determine os domínios.\nA função original y=2x^{2}-1 é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Logo o domínio de y é o conjunto de todos os reais.\nA derivada y'(x)=4x também é um polinômio (grau 1), logo também está definida para todos os reais. Portanto ambos têm domínio \mathbb{R}.

Resposta

Derivada: y'=4x\nDomínio da função: \mathbb{R}\nDomínio da derivada: \mathbb{R}

Exercícios relacionados