Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
;
Passo 1
Dado:
.\n\nPedidos:\n1) Encontrar a derivada de
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).\n2) Determinar o domínio da função
.\n3) Determinar o domínio da derivada encontrada.
Passo 2
Escrevendo a definição de derivada no ponto
:\n
\nExplicando as variáveis:
é o ponto onde queremos a derivada e
é um incremento pequeno (vai para zero). A expressão dentro do limite é o coeficiente angular da secante entre
e
; o limite dá a inclinação da tangente.
Passo 3
Calcule
. Primeiro expandimos
:\n
\nMultiplicando por
e subtraindo
obtemos:\n
Passo 4
Forme a diferença
. Sabendo que
, temos:\n
Passo 5
Monte o quociente incremental e simplifique dividindo por
:\n
\nonde fizemos a fatoração e cancelamos um fator
(válido para
, que é o caso dentro do limite).
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:\n
\nPortanto a derivada, obtida pela definição, é a função
. Isso faz sentido também por uma checagem rápida: pelo “regra do poder”,
, e a constante
some.
Passo 7
Determine os domínios.\nA função original
é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Logo o domínio de
é o conjunto de todos os reais.\nA derivada
também é um polinômio (grau 1), logo também está definida para todos os reais. Portanto ambos têm domínio
.
Resposta
Derivada:
\nDomínio da função:
\nDomínio da derivada: