Encontre a derivada da função.
y=sen^2 xcos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Estamos lidando com Derivadas, um tópico fundamental do Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função. Derivar uma função é encontrar a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso, . Ou seja, queremos saber como muda quando muda um pouquinho.

Passo 3

Nossa função é . Para derivar essa expressão, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função na forma , a derivada é , onde e são as derivadas de e , respectivamente.

Passo 4

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 5

Para encontrar u' = 2 sin x cdot cos x , usamos a Regra da Cadeia. Sabemos que , então:
Aqui, derivamos em relação a , multiplicando pelo derivada de , que é .

Passo 6

Agora, vamos derivar v' = -sin x . A derivada de em relação a é:

Passo 7

Com dydx = u'v - uv'v^2 = (2 sin x cos x)(cos x) - (sin^2 x)(- sin x)(cos x)^2 e encontrados, vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
(2 sin x cos x)(cos x) = 2 sin x cos^2 x
(sin^2 x)(- sin x) = -sin^3 x
Então:
dydx = 2 sin x cos^2 x + sin^3 xcos^2 x

Passo 9

Podemos fatorar dydx = sin x (2 cos^2 x + sin^2 x)cos^2 x no numerador:

Passo 10

Lembrando que 2 cos^2 x + sin^2 x = 2 cos^2 x + (1 - cos^2 x) = cos^2 x + 1 , podemos reescrever:
dydx = sin x (cos^2 x + 1)cos^2 x
Então:

Passo 11

Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
dydx = sin x ( cos^2 xcos^2 x + 1cos^2 x ) = sin x (1 + sec^2 x)

Resposta

A derivada da função é:
dydx = sin x (1 + sec^2 x)

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