Encontre a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Estamos lidando com Derivadas, um tópico fundamental do Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função. Derivar uma função é encontrar a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, no caso,
. Ou seja, queremos saber como
muda quando
muda um pouquinho.
Passo 3
Nossa função é
. Para derivar essa expressão, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função na forma
, a derivada é
, onde
e
são as derivadas de
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a Regra da Cadeia. Sabemos que
, então:
Aqui, derivamos
em relação a
, multiplicando pelo derivada de
, que é
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 7
Com
e
encontrados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 9
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 10
Lembrando que
, podemos reescrever:
Então:
Passo 11
Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Resposta
A derivada da função é: